■ Hello School 算数 立体図形　練習問題　解答と解説　■

インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。

１． 右の図の黄緑の部分に正方形を１つ加えて立方体の展開図を 作りたい。 立方体の展開図になるのはア〜ケのどの部分を加えればよい ですか。 すべて選び、記号で答えなさい。 解説： 同じ色同士が並行の関係になる。 解答：イ、ウ、オ、カ

２． 右の図はある立体の展開図です。 (1)この立体の名前は何という名前ですか。 (2)頂点Gと重なるのはどの頂点ですか。 (3)この立体の辺の長さの和は何cmですか。 解説： (1) 底面が四角形なので四角すい。 (2) BとH、DとF、CとGがそれぞれ重なる。 (3) 3×4+4×4＝28cm。 解答：(1)四角すい　(2)C　(3)28cm

３． 右の図は立方体の展開図です。 (1)頂点Aに重なるのはどの頂点ですか。 (2)面CDELに平行な面はどの面ですか。 解説： (1) 面CDELを前にすると、見取り図は右の 図の通り。 頂点Aに重なるのは頂点G。 (2) 右の図参照。 解答：(1)頂点G　(2)面HIJG

４． 右の図は正六角柱の展開図です。 (1)頂点Eに重なるのはどの頂点ですか。すべて選び 　なさい。 (2)辺IJに重なるのはどの辺ですか。 (3)面ABUVと平行になる面はどの面ですか。 (4)頂点E、G、Iを通る平面で切ったとき、切り口の 　形はどんな形ですか。 (5)頂点E、L、Jを通る平面で切ったとき、切り口の 　形はどんな形ですか。 解説： (1) EとAが重なり、AとSが重なるので、頂点Eに重なるのは頂点Aと頂点S。 (2) KとMが重なり、JはOと重なるので、辺IJに重なるのは辺QP。 (3) 辺ABが辺EDと重なるので、面ABUVと平行になる面は面GLJK。 (4) 右の図の通り二等辺三角形。 (5) 右の図の通り（等脚）台形。 解答：(1)頂点Aと頂点S　(2)辺QP　(3)面GLJK　(4)二等辺三角形　(5)（等脚）台形

５． 右の図は立方体の見取り図と展開図です。 「A」と「C」の文字を正しい向きで展開図に 書き入れなさい。 解説： 右の図のように同じ色の線の部分が重なる。 解答：解説参照

６． 右の図は立方体の見取り図と 展開図です。 「A」〜「F」の文字を正しい向きで 展開図に書き入れて完成させな さい。 解説： 右の図の通り。 解答：解説参照

７． 右の図のような立方体の箱にリボンをかけました。 展開図にリボンのかかり方をかきなさい。 解説： 右の図の通り。 解答：解説参照

８． 右の図は正四面体の展開図です。 見取り図に展開図の黄緑の部分を できるだけ正確にかきなさい。 解説： 右の図の通り。 解答：解説参照

９． 右の図はある立体の展開図です。 (1)見取り図をかきなさい。 (2)頂点Bと重なるのはどの頂点ですか。すべてかきなさい。 解説： (1) 右の図のようになる。 (2) 頂点Bと重なるのは頂点DとF。 解答：(1)解説参照　(2)頂点DとF

10． 右の図は円すいを3つに分けた 展開図です。アとイの長さを それぞれ求めなさい。 解説： 上の図のように一番小さい円すいの母線と半径の比が10：3なので、 一番右側の大きな円すいの母線の長さは90cmになる。 ここからア＝18cm、イ＝20cmになる。 解答：ア＝18cm　イ＝20cm

11． 右の図はある立体を真正面から見た図と真上から見た 図です。 (1)立体の体積は何cm3ですか。 (2)立体の側面積は何cm2ですか。 解説： (1) 右の図のように、真ん中 の円すいから上の半分 の部分を切り取ったよう な立体となる。 体積は 12×12×3.14×16× 1 3 × 7 8 ＝2110.08cm3。 (2) 右の図のように母線が 20cm、半径が12cmなの で、側面は円の 3 5 となる。さらに母線の半分から上がないので求める部分は全体のおうぎ 形の 7 8 になる。求める面積は 20×20×3.14× 3 5 × 7 8 ＝659.4cm2。 解答：(1)2110.08cm3　(2)659.4cm2

12． 右の図はある立体を真正面から見た図と真上から見た 図です。 (1)立体の体積は何cm3ですか。 (2)立体の表面積は何cm2ですか。 解説： (1) 見取り図は右の図のようになる。 求める体積は （10×20+10×10×3.14÷2） × 20 （底面積） （高さ） ＝7140cm3。 (2) 展開図は右の図のようになる。 求める表面積は （10×10×3.14÷2+10×20）×2 ＋（10+20+10+20×3.14÷2）×20 ＝714+1428＝2142cm2。 解答：(1)7140cm3　(2)2142cm2

13． 右の図はある立体を真正面から見た図と真上から見た 図です。 (1)立体の体積は何cm3ですか。 (2)立体の表面積は何cm2ですか。 解説： (1) 見取り図は右の図のようになる。 求める体積は 12×9÷2×4＝216cm3。 (2) 展開図は右の図のようになる。 求める表面積は 12×9÷2×2+（15+12+9）×4 ＝252cm2。 解答：(1)216cm3　(2)252cm2

14． 右の図のような円すいのアから側面を最も短くなるように線を引きました。 線の長さは何cmですか。 解説： 展開図は右の図の通りになり、側面のおうぎ形の中心角は 60°になり、三角形ABCは正三角形となる。 よって、BC＝6cm。 解答：6cm

15． 右の図は底面の1辺が6cmの正三角形、高さが20cmの三角柱です。 右の図のように、頂点Aから頂点Bまで最も短くなるように結んだとき、 アイの長さは何cmになりますか。 解説： 直線は5つの側面を通ることになり、展開図は右の 図のようになる。 直角をつくる辺の比が2：3から、ウエは4cm。 よって、アイは12cm。 解答：12cm

16． 右の図のような側面が正三角形の四角すいが あり、アからイまで最も短くなるように直線を 引きました。 展開図に残りの部分と直線をかき入れなさい。 解説： 右の図のようになる。 解答：解説参照

17． 右の図はOA＝OB＝OC＝OD＝OE＝12cmの五角すいで、 角AOB＝8°、角BOC＝15°、角COD＝6°、 角DOE＝12°、角EOA＝19°になっています。 頂点Aから側面を最も短くなるように直線を引いたとき、 直線の長さは何cmですか。 解説： 直線は5つの側面を通るので、展開図は右の図の 通りになる。 頂点Oの角度は60°となり、三角形OAA'は正三角形 になるので、AA'の長さは12cm。 解答：12cm

18． 右の図のような直方体に直線を引きました。 直線が最も短くなるとき、その長さは何cmですか。 右下の直角三角形の比を使って解きなさい。 解説： 直線は7つの側面を通ることになり、展開図は 右の図のようになる。 ABの長さは10cm、求める直線の長さはABの 4倍になるので、40cm。 解答：40cm

19． 右の図は1辺が1cmの立方体を積み上げたものです。 (1)立方体は何個ありますか。 (2)全体の表面積は何cm2ですか。 (3)面と面が重なり合っている部分は何か所ありますか。 解説： (1) 一番下の段が10個、下から2段目が6個、上から2段目が3個、 一番上が1個なので、全部で20個。 (2) 真上、真横、真正面とも10cm2なので、求める表面積は （10+10+10）×2＝60cm2。 (3) 全体の個数が20個なので、20個分の面の個数は20×6＝120面。 そのうち、表面積か60cm2なので、表に出ている面の個数は60面。 120面のうち60面が隠れていることになり、それが2面で重なって いるので、重なっている面の個数は60÷2＝30面。 解答：(1)20個　(2)60cm2　(3)30面

20． 右の図は1辺が1cmの立方体を16個使って組み立てたものです。 (1)全体の表面積は何cm2ですか。 (2)(1)と同じ表面積の立方体を作った場合、1辺は何cmになります 　か。 解説： (1) 真上から見ると10cm2、真横から見ると9cm2、真正面から見ると8cm2ある ので、求める表面積は（10+9+8）×2＝54cm2。 (2) 54÷6＝9cm2。 1辺は3cmとなる。 解答：(1)54cm2　(2)3cm

21． 右の図は1辺が1cmの立方体を16個使って組み立てたものです。 表面全体に色をぬり、バラバラにしたとき、色がぬられていない 立方体は何個ありますか。 解説： 真ん中の8個になる。 解答：8個

22． 右の図は1辺が1cmの立方体を使って組み立て表面全体に 色をぬりました。 (1)、バラバラにしたとき、1つの面だけがぬられている立方体 　は何個ありますか。 (2)1つの面もぬられていない立方体を使って直方体または 　立方体を作ると1辺が3cmの辺をもつ直方体または立方体 　は全部で何種類できますか。 　　ただし、体積と表面積が同じになるものは1種類とします。 解説： (1) 右の図のように、1つの面に黄緑の9個ずつ あるので、求める個数は9×6＝54個。 (2) １つの面もぬられていない立方体は27個。 1辺が3cmで27cm3以下の直方体または 立方体を考えればよい。 3×1×1、3×1×2、3×1×3、3×1×4、 3×1×5、3×1×6、3×1×7、3×1×8、 3×1×9、3×2×2、3×2×3、3×2×4、 3×3×3の13種類。 解答：(1)54個　(2)13種類

23． 立方体を組み合わせて、右の図のような条件で立体を作ります。 立方体を最も少なくするとき、立方体は何個になりますか。 解説： 右の図のように17個。 解答：17個

24． 立方体を積み上げて、真正面から見ても、真横から見ても、真上から見て も右の図のような立体をつくります。立方体を最も少なくするとき、立方体 は何個になりますか。 解説： 右の図のように45個。 解答：45個

25． 右の図は1辺が1cmの立方体を 使ってア〜ウのように組み立て ました。 このうち、表面積が一番小さいの はどれですか。また、そのときの 表面積は何cm2ですか。 ア イ ウ 解説： 表面積はそれぞれ ア…1×1×2+1×8×4＝34cm2。 イ…2×1×2+1×4×2+4×2×2＝28cm2。 ウ…2×2×6＝24cm2。 よってウの24cm2。 解答：ウの24cm2

26． 右の図のように1辺が6cmの立方体の各面の対角線の交点を結んで まわりを取りました。残った立体の体積は何cm3ですか。 解説： 真上から見ると、残った立体の底面はひし形となる。 求める体積は 6×6÷2 ×3× 1 3 ×2＝ 36cm3。 解答：36cm3

27． 右の図は1辺が6cmの立方体でMはBCの中点です。 3点M、F、Hを通る平面で切ったときにできる2つの立体のうち、 小さい方の体積は何cm3ですか。 解説： 切った後の図形は右の図の通り。 LG＝12cm。 求める体積は三角すいL-FGHの 7 8 になる。 6×6÷2×12× 1 3 × 7 8 ＝63cm3。 解答：63cm3

28． 右の図は1辺が6cmの立方体でM、NはBC、CDの中点です。 3点M、N、Gを通る平面で切ったときにできる三角すいの 表面積は何cm2ですか。 解説： 三角すいの展開図は 右の図のように正方形 になる。 求める面積は6×6＝36cm2。 解答：36cm2

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