■ Hello School 算数 容積　■

インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。

●容積の知識

(1)単位 1 ＝1000cm3＝1000m ＝1000cc 1d ＝100cm3

(2)容積とグラフ 　一定の水の量を容器の中に入れていく。 右の図の容器の場合、深さが最初は ゆっくり上昇して、あとから急に上がっ ていく。 左の図の容器の場合、深さは一定の 割合で上がっていく。 右の図の容器の場合、深さが最初は 急に上昇して、あとからゆっくり上がっ ていく。

(3)比と容積 2つの容器A、Bの底面積、高さ、容積は 右の図のような長方形の辺と面積の関係で 表される。 �@高さが同じで、底面積と容積がちがう場合 容積の比は底面積の比と 等しい。 �A底面積が同じで、高さと容積がちがう場合 容積の比は高さの比と 等しい。 �B容積が同じで、底面積と高さがちがう場合 底面積の比は高さの逆比 になる。

(4)おもりを沈める場合 おもりを沈めた場合、おもりと同じ体積だけ 水の容積が見かけ上増える。

例題１ 右の図のアの容器に水を8cmの高さまで入れた あと、イの容器に移しかえました。 イの容器には何cmの高さまで水が入りますか。 解説 アの容器には8×8×8＝512cm3の水が入いることになる。 イの下の部分の直方体の容積は15×8×4＝480cm3なので、 残りの512-480＝32cm3が上の部分の直方体に入ることになる。 32÷（2×8）＝2cm。 全体の高さは4+2＝6cm。 解答 6cm

例題2 右の図のような直方体の容器に水を入れ、 底面の1辺を固定した状態で水がこぼれない ように傾けました。 容器に入っている水の体積は何cm3ですか。 解説 底面が台形で高さが4cmの立体の体積を考えればよい。 （6+9）×4÷2×4＝120cm3。 解答 120cm3

例題3 右の図のような容器に水が3600cm3入っています。 この容器の中に底面が600cm2の棒を入れました。 アの高さは何cmになりますか。 解説 水の体積は3600cm3なので底面積は3600÷4＝900cm2。 棒が入ったときの底面積は900-600＝300cm2。 高さは3600÷300＝12cm。 解答 12cm

例題4 右の図のような2つの容器ア、イがあり、水が入っている 体積の比は4：5です。 (1)底面積の比を求めなさい。 (2)アの水をイに移し、イの高さがアの高さの2倍になる 　ようにすると、アの高さは何cmになりますか。 解説 便宜的にアの容器に入っている水の体積を320cm3、イの容器に入っている 水の体積を400cm3とする。 (1) と、アの底面積は320÷16＝20cm2、イの底面積は 400÷10＝40cm2となり、底面積の比は20：40＝1：2。 (2) 底面積の比が1：2、高さの比が1：2に なることから、体積の比は1：4になる。 2つの体積の和は720cm3なので、 アの体積は720÷5＝144cm3。 高さは144÷20＝7.2cm。 ※比の問題では、便宜的に数量を入れても、比の関係を維持していれば正解を求めることができる。 解答 (1)1：2　(2)7.2cm

例題5 右の図のような容器に水を一定 の割合で入れていき、そのとき のグラフが右のグラフです。 (1)水は1分間で何cm3入りますか。 (2)容器に水がいっぱいになるのは 　何分後ですか。 解説 (1) 12分後で高さが20cmになることから、12分後に下の直方体の部分が いっぱいになっていることがわかる。水は1分間に （30×10×20）÷12＝500cm3。 (2) 上の直方体の部分に水がいっぱいになるのは、 （50×10×20）÷500＝20分後。 全体は12+20＝32分後。 解答 (1)500cm3　　(2)32分後

例題6 右の図のような容器に仕切りを おき、水を1分間に1680cm3ずつ 入れたところ、右のグラフのよう になりました。 ア、イ、ウはそれぞれいくつです か。 解説 10分後の水の体積は1680×10＝16800cm3。底面積は30×20＝600cm2なので、 イの高さは16800÷600＝28cm。 右の部分に入る水の体積は40×20×28＝22400cm2なので、いっぱいになるのは 22400÷1680＝13 1 3 分後。アは10＋13 1 3 ＝23 1 3 分後。 仕切りの関係のない部分の水の体積は70×20×12＝16800cm3なので、 いっぱいになるのは、16800÷1680＝10分後。 ウは23 1 3 ＋10＝33 1 3 分後。 解答 ア…23 1 3 　イ…28　ウ…33 1 3

例題7 右の図のような容器に鉄のかたまりを入れ、 1分間に640cm3ずつ水を入れたところ、右 のグラフのようになりました。 (1)アは何cmですか。 (2)鉄のかたまりの体積は何cm3ですか。 解説 (1) 10分後から35分後までの25分間で水の高さが20cm上がっていることから、 鉄のかたまりの関係のない部分の底面積は、 640×25÷20＝800cm2。 横の長さが40cmなので、アは800÷40＝20cm。 (2) 容器の底面積は800cm2で、鉄のかたまりがない場合の水の体積は 8000cm3。実際に入った水の体積は640×10＝6400cm3なので、残りの 8000-6400＝1600cm3が鉄のかたまりの体積となる。 解答 (1)20cm　　(2)1600cm3

例題8 右の図のような容器にはじめはA管だけを 使い、12分後からA管、B管の両方を使って 入れたところ、右のグラフのようになりまし た。 (1)最初からA管、B管の両方を使って入れる 　といっぱいになるのは何分後ですか。 (2)最初からB管だけで入れると、いっぱい 　になるのは何分後ですか。 解説 (1) A管だけを使った12分間で24cm高くなるので、1分間に2cmずつ高くなることが わかる。A管とB管を2つ使うと、(18-12)＝6分間で(60-24)＝36cm高くなるので、 1分間に6cmずつ高くなる。 最初からA管、B管の両方を使って入れると、60÷6＝10分でいっぱいになる。 (2) B管だけだと(6-2)＝4cmずつ高くなる。 最初からB管だけを使うと、60÷4＝15分でいっぱいになる。 解答 (1)10分　　(2)15分

練習問題

算数目次　　算数・数学のページ Top この授業を担当する大川葵先生です

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