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School 算数 図形の移動 ■ |
| インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。 |
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| 例題１ |
右の図のような、1辺が1cmの正方形に3cmの糸を
図のような位置からたるまないようにまきつけていき
ます。Pが動いた長さは何cmですか。
円周率は3.14とします。 |
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Pが動く軌跡は右の図のようになる。
Pの動いた長さは
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| 解答 |
9.42cm | |
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| 例題2 |
右の図のような、中心角が90°、半径6cmの
おうぎ形が矢印の方向にすべることなくアから
イまでころがします。Oが動いた長さは何cm
ですか。円周率は3.14とします。 |
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Oが動く軌跡は右の図のようになる。
CDの長さはBEと同じでさらにABの
長さと同じになる。
Oが動いた長さは
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| 解答 |
28.26cm | |
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| 例題3 |
1辺が6cmの正三角形が右の図の位置からすべることなく
A、B、Cの位置が同じになるまでころがします。
このときAが動いた長さは何cmですか。
円周率は3.14とします。 |
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Aが動く軌跡は右の図の
ようになる。
中心角が120°のおうぎ
形が2個できるので、Aが
動いた長さは
＝25.12cm。 |
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| 解答 |
25.12cm | |
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| 例題4 |
右のような角Bが直角の直角三角形をCを中心として60°
回転させたとき辺ABが通った黄色の部分の面積は何cm2
ですか。
円周率は3.14とします。 |
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DABの部分を上の図のように移動させると、求める面積は半径10cm、
中心角60°のおうぎ形から半径8cm、中心角60°のおうぎ形の面積を
引いたものになる。
| 10×10×3.14× |
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-8×8×3.14× |
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＝（100-64）×3.14× |
| ＝6×3.14＝18.84cm2。 | |
| 解答 |
18.84cm2 | |
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| 例題5 |
右の図のような長方形をCを中心にして90°回転させた
とき、黄色の部分の面積は何cm2ですか。
円周率は3.14とします。 |
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求める面積は半径10cm、中心角90°のおうぎ形から三角形ACDの面積を
2個、つまり長方形ABCDの面積を引いたものになる。
| 10×10×3.14× |
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-6×8÷2＝54.5cm2。 | | |
| 解答 |
54.5cm2 | |
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| 例題6 |
右の図は半円をOを中心に30°移動したものである。
赤い部分の面積は何cm2ですか。
円周率は3.14とします。 |
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求める面積は半円とおうぎ形をたしたものから半円を引いたものなので、おうぎ形の
面積を求めればよい。
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| 解答 |
9.42cm2 | |
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| 例題7 |
右の図の黄色の長方形を組み合わせた図形の周りを半径2cm
の円が1周します。円が通ったあとの
面積は何cm2ですか。
円周率は3.14とします。 |
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円が通ったあとの軌跡は右の図の通り。
求める面積は
（ア+イ+エ）＋（コ+サ+シ+ス+セ+ソ）＋（ウ+オ+カ+キ+ク+ケ）
| （2×2×3）＋（4×4×2+4×8×2+4×16×2） |
| ＋（4×4×3.14× |
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×5+2×2×3.14× |
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） | ＝12＋224＋62.8＋3.14＝301.94cm2。 | |
| 解答 |
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| 例題8 |
右の図のような長方形にPがCから出発してD→Aを通って
Bまで毎秒2cmの速さで進みます。
| 三角形ABPの面積が長方形の |
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になるのはPが出発 |
| してから何秒後ですか。 | |
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Pが動く軌跡と三角形ABPの
面積の変化は右の図の通り。
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底辺は12cmなので面積が36cm2になるのは高さが6cmになるときである。
高さが6cmになるときのPは3秒後のCD上にあるときと、11秒後のAB上にあるとき
である。 | |
| 解答 |
3秒後と11秒後 | |
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| 例題9 |
右の図のような台形にPがEから
出発してC→Dを通ってAまで
毎秒2cmの速さで進みます。
グラフはPが移動していくときの
三角形AEPの面積のようすを
表しています。
(1)アはいくつですか。
(2)ADとCDの長さは何cmですか。 |
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| (1) |
7秒後のPは14cm進んだところで、Cの位置にある。
面積は14×6÷2＝42cm2。 |
| (2) |
7秒後から12秒後の5秒間でPはCからDに進んでいることになるので、
CDは10cm。
また、12秒後から17秒後の5秒間でPはDからAに進んでいることになるので、
ADは10cm。 | | |
| 解答 |
(1)42cm2 (2)AD…10cm CD…10cm | |
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| 例題10 |
右の図ような長方形にPは毎秒6cm、Qは毎秒3cmの速さで
Bを出発してCを通りDまで進みます。
(1)5秒後の三角形APQの面積は何cm2ですか。
(2)PがBC上にあるとき、三角形APQの面積が36cm2に
なるのは何秒後ですか。 |
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| (1) |
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P、Qの動きと三角形APQの変化は上の通り。
5秒後の三角形APQは右上の図となる。
求める面積は18×24-（15×18÷2+9×6÷2+12×24÷2）
＝126cm2。 |
| (2) |
面積が36cm2になるのは底辺が4cmになる
ときで、1秒間に3cmの差がつくので、
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| 解答 |
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| 例題11 |
右の図のような四角形にPはAから毎秒2cmの速さでDへ、
QはCから毎秒1.5cmの速さでBへ進みます。
四角形AQCPの面積が162cm2になるのはP、Qが同時に
出発してから何秒後ですか。 |
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1秒間で三角形APCは2×18÷2＝18cm2ずつ、
三角形ACQは1.5×12÷2＝9cm2ずつ増えるので、
四角形AQCPは1秒間で18+9＝27cm2ずつ増える
ことになる。
四角形AQCPの面積が162cm2になるのは
162÷27＝6秒後。 |
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| 解答 |
6秒後 | |
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| 例題12 |
右の図のようにOを中心とする円が2つあります。
P、Q、Oが一直線に並んでいる状態からP、Qが
同時に同じ方向に出発します。
Pは1周するのに16秒、Qは1周するのに24秒
かかります。
(1)Q、O、Pの順で最初に一直線になるのは何秒後
ですか。
(2)OPとOQのつくる角度が2回目に90°になるのは
何秒後ですか。 |
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| (1) |
1秒間でPは360÷16＝22.5°、
Qは360÷24＝15°動き、
22.5-15＝7.5°の差ができる。
Q、O、Pの順で最初に一直線に
なるのはPがQよりも180°進んだ
ときなので、
180÷7.5＝24秒後。 |
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| (2) |
OPとOQのつくる角度が2回目に90°
になるのはPがQよりも270°進んだ
ときなので、
270÷7.5＝36秒後。 | |
| 解答 |
(1)24秒後 (2)36秒後 | |
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| 例題13 |
右の図は大小の正方形を斜めから
見たものです。
小さい正方形の1辺と等しい正六角形
を大きい正方形の中にコンパスと定規
を使ってかきなさい。 |
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右の図のように、小さい正方形の1辺の
長さの半径とする弧を描く。
次に大きい正方形の中に同じ半径の円
を描く。
同じ半径で円周を6等分して交点を結べ
ば正六角形ができる。 |
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| 解答 |
解説参照 | |
| 練習問題 |
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