■ Hello School 算数
周期算・規則性 練習問題 解答と解説 ■ |
インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。 |
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1. |
ある規則にしたがって数字を並べました。次の□にあてはまる数を求めなさい。 (1)1、4、9、16、25、□、49、…
(2)3、4、6、□、13、…
(3)2、4、8、14、□、32、…
(4)1、2、4、8、□、32、…
(5)3、5、8、13、21、…、□(12番目の数)
(6)2、6、8、12、14、18、20、24、□、30、…
(7)3、4、7、9、10、13、15、16、19、21、□、25、… |
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解説: |
(1) |
1×1、2×2、3×3、…になっているので、6×6=36。 |
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(2) |
1、2、3、…と増えていくので、6+3=9。 |
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(3) |
2、4、6、…と増えていくので、14+8=22。 |
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(4) |
前の数の2倍になっているので、8×2=16。 |
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(5) |
3番目の8は2つ前の3と1つ前の5の和(3+5)、4番目の13は2つ前の5と 1つ前の8の和(5+8)になっているので、12番目の数は 3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610となる。 |
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(6) |
2番目の数は1番目の数に4を足したもの、3番目の数は2番目の数に2を 足したものの繰り返しになっている。 □=24+2=26。 |
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(7) |
2番目の数は1番目の数に1を足したもの、3番目の数は2番目の数に3を 足したもの、4番目の数は3番目の数に2を足したものの繰り返しになって いる。□=21+1=22。 | |
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解答:(1)36 (2)9 (3)22 (4)16 (5)610 (6)26 (7)22 | |
2. |
ある規則にしたがって数字を下のように並べました。 3、4、4、5、5、5、6、6、6、6、… (1)50番目の数はいくつですか。
(2)50番目までの数の和はいくつですか。 |
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解説: |
(1) |
1+2+…+8+9=45で、 45番目の数は9に2を足した数なので11。 50番目の数は12。 |
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(2) |
3×1+4×2+…11×9+12×5=435。 | |
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解答:(1)12 (2)435 | |
3. |
ある規則にしたがって数字を下のように区切って並べました。 │3│4、5│6、7、8│9│10、11│12、13、14│15│… (1)36は左から何番目の区切りに入る数ですか。
(2)1つの区切りの中にある数の和が183になるのは左から何番目の区切りですか。 |
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解説: |
(1) |
区切りの中の数字の数が1個、2個、3個の繰り返しになっている。 │3│4、5│6、7、8│9│10、11│12、13、14│15│…を │1│2、3│4、5、6│7│8、9│10、11、12│13│…と2減らして考えると 36は34と同じ場所に入る。 34÷6=5あまり4なので、36は左から18番目の区切りになる。 |
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(2) |
和が183になるのは|91、92|になるか|60、61、62|になる場合である。 │3│4、5│6、7、8│9│10、11│12、13、14│15│…を │1│2、3│4、5、6│7│8、9│10、11、12│13│…と2減らして考えると 91は89、60は58と同じ場所に入る。 また│A│B、C│D、E、F│で、Fは6の倍数となり、│89、90│となることは ない。 58÷6=9あまり4なので、58は左から30番目の区切りになる。 | |
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解答:(1)18番目 (2)30番目 | |
4. |
ある規則にしたがって数字を下のように並べました。 3、3、4、3、4、5、3、4、5、6、3、4、5、6、7、… (1)7回目の4が出てくるのは左から何番目の数ですか。
(2)左から100番目までに4は何回出てきますか。 |
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解説: |
(1) |
右のように数字を並びかえて考えると、 7回目の4が出てくるのは 2+1+2+…+6+2=25番目。
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3、3 4 3、4 3、4、5 3、4、5、6、7 ……………… |
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(2) |
1+2+…+12+13+9=100となり4は 14回出てくる。 |
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解答:(1)25番目 (2)14回 | |
5. |
偶数を右の図のように並べました。 (1)8段目までの数の和はいくつになりますか。
(2)64は何段目の左から何番目の数ですか。
(3)上からA段目、左からB番目の数を[A、B]で表すことにします。 例えば[4、3]=18です。72はどう表せますか。
(4)[13、7]はいくつですか。 |
![](sansub2303_files/sansuub23003.gif) |
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解説: |
(1) |
7段目の右はしまでに数の個数は 1+2+…+7=(1+7)×7÷2=28個。 28番目の偶数の数は28×2=56。 7段目までの和は(2+56)×28÷2=812。 8段目の右はしまでに数の個数は 1+2+…+8=(1+8)×8÷2=36個。 36番目の偶数の数は36×2=72。 8段目までの和は(2+72)×36÷2=1332。 8段目の数の和は1332-784=520。 |
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(2) |
n番目の偶数はn×2で求まるので、64は32番目数になる。 1+2+…+6+7+4=32なので、64は8段目の左から4番目と なる。 |
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(3) |
n番目の偶数はn×2で求まるので、72は36番目数になる。 1+2+…+7+8=36なので、72は8段目の 左から8番目となり、[8、8]。 |
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(4) |
12段目までは1+2+…+12=78個の数があり、13段目の 7番目までには85個の数がある。 85番目の数は170。 | |
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解答:(1)520 (2)8段目の左から4番目 (3)[8、8]
(4)170 | |
6. |
両はしの数を1として、下の列は上の列の2つの数をたしていきます。 (1)和が2048になるのは何列目ですか。
(2)2048になる列までのすべての数の和はいくつですか。 |
![](sansub2303_files/sansuub23018.gif) |
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解説: |
(1) |
右の表のように 2列目以降は前 の列の和の2倍 になっていく。 |
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列 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
和 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
2048 | |
(2) |
n列までの和はn×2-2になっている。 2048になる列までの和は2048×2-2=4094。 | |
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解答:(1)11列目 (2)4094 | |
7. |
ある規則にしたがって数字を下のように並べました。 1段目 1、11、21、31、41、51、61、71、… 2段目 2、3、12、13、22、23、32、33、… 3段目 4、5、6、14、15、16、24、25、… 4段目 7、8、9、10、17、18、19、20、… (1)98は何段目の左から何番目の数ですか。
(2)3段目の数で200より小さい数はいくつありますか。 |
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解説: |
(1) |
一の位が8があるのは4段目だけである。 7、8、9、10 17、18、19、20 27、28、29、30 ………………… と一の位が7、8、9、0と続いていくので、 98は10段目の左から2番目、全体では 左から38番目の数である。 |
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(2) |
4、5、6、 14、15、16、 24、25、26 …………… と一の位が4、5、6と続いていくので、 200よりも小さい数で一番近い数は196 である。 196までに20段あるので、3×20=60個。 | |
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8. |
ある規則にしたがって数字を右のように並べました。 (1)60は何行何列目にありますか。
(2)11行14列目の数はいくつですか。 |
![](sansub2303_files/sansuub23019.gif) |
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解説: |
(1) |
1番上の1行目は1×1、2×2、…となっているので、1行目の8列目は 8×8=64。下の表を作ると、60は5行目の8列目となる。
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64 |
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63 |
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62 |
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61 |
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60 |
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59 |
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58 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 | |
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(2) |
1行目の14列目の数は14×14=196。 11行目は196から10引いた数になるので、186。 | |
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解答:(1)5行目の8列目 (2)186 | |
9. |
円柱に数字を側面に数字を下の数が上の数よりも10多くなるように並べて いきました。 (1)ある数の上下と左右の4つの数の和が3960になるとき、ある数はいくつ ですか。
(2)ある数の上下と左右の4つの数の和が7の倍数になるとき、そのような 数は1から1000までいくつありますか。 |
![](sansub2303_files/sansuub23024.gif) |
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解説: |
(1) |
ある数をnとすると上下と左右の関係は右の表の ようになる。 (n-10)+(n-1)+(n+1)+(n+10)=3960。 n×4=3960。 n=990 |
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(2) |
nが7の倍数であれば、4つの数の和も7の倍数になる。 1000÷7=142あまり6。 ただし、最初の7は4つの数の和を作れないので、141個。 | |
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解答:(1)990 (2)141個 | |
10. |
長方形のテープを同じ方向に半分になるように何回も折っていきます。1回折って元に戻すと 折り目は1本になります。2回折って元に戻すと折り目は3本になります。8回折ったとき、 折り目は何本になりますか。 |
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1回折る場合 |
2回折る場合 |
![](sansub2303_files/sansuub23016.gif) |
![](sansub2303_files/sansuub23017.gif) | |
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解説: |
折る回数と折り目の数は以下のような関係が ある。 1回折る…2-1 2回折る…2×2-1 3回折る…2×2×2-1 ………………………… 8回折る…2×2×2×2×2×2×2×2-1=255。 | |
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解答:255本 | |
11. |
1本1cmの棒を使って右の図のように正方形を並べていきます。 (1)正方形が12個になったとき、棒は何本になりますか。
(2)棒を94本使うと、正方形は何個できますか。
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![](sansub2303_files/sansuub23005.gif) |
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解説: |
(1) |
最初の1個目の正方形は4本、2個目以降は3本で作れるので、正方形が 12個の場合、棒の本数は4+3×11=37本。 |
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(2) |
94本のうち、最初の1個目に4本使うと残りは90本。90÷3=30。 全部で31個の正方形を作ることができる。 | |
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解答:(1)37本 (2)31個 | |
12. |
1本1cmの棒を使って右の図のように立方体を組み立てていきます。 (1)立方体が12個になったとき、棒は何本になりますか。
(2)棒を476本使うと、立方体は何個できますか。 |
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![](sansub2303_files/sansuub23011.gif) |
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解説: |
(1) |
最初の1個目の立方体は12本、2個目以降は8本で作れるので、 立方体が12個の場合、棒の数は12+8×11=100本。 |
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(2) |
476本のうち、最初の1個目に12本使うと残りは464本。 464÷8=58。全部で59個の立方体を作ることができる。 | |
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解答:(1)100本 (2)59個 | |
13. |
1本1cmの棒を使って右の図のように正三角形を並べていきます。 (1)1辺の長さが6cmの正三角形ができるとき、棒は全部で何本に なりますか。また、1辺が1cmの正三角形は何個できますか。
(2)棒を135本使ったとき、正三角形の1辺の長さは何cmになりますか。 |
![](sansub2303_files/sansuub23012.gif) |
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解説: |
(1) |
頂点が上に向いている三角形の辺の本数を考えれば よい。 1辺の長さが6cmの正三角形で頂点が上に向いている 三角形は1+2+…+6=21。辺の数は21×3=63本。 頂点が下を向いている三角形の数は 1+2+…+5=15。 三角形の数は全部で21+15=36個。 |
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![](sansub2303_files/sansuub23022.gif) |
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(2) |
棒を135本使ったとき、頂点が上に向いている三角形は135÷3=45個 できる。 1+2+…+9=45になるので、正三角形の1辺の長さは9cmになる。 | |
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解答:(1)36個 (2)9cm | |
14. |
1辺の長さが1cmの立方体を下の図のように組み立てていきます。 (1)4段目まで組み合わせたときの表面積を求めなさい。
(2)8段目まで組み合わせたときの表面積を求めなさい。 |
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![](sansub2303_files/sansuub23013.gif) |
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解説: |
(1) |
1つの面で1+2+3+4=10cm2となるので、10×6=6cm2 |
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(2) |
1つの面で1+2+…+8=36cm2となるので、 36×6=216cm2 | |
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解答:(1)6cm2 (2)216cm2 | |
15. |
1辺が1cmの正方形を下のように並べていきます。 (1)12番目の図形の周りの長さは何cmですか。
(2)周りの長さが188cmになるのは何番目の図形ですか。
(3)12番目の正方形の数は11番目の正方形の数よりも何個多くなりますか。 |
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![](sansub2303_files/sansuub23014.gif) |
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解説: |
(1) |
下の表のように、2番目以降は周りの長さは8ずつ増えていく。
n番目 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
周りの長さ |
4 |
12 |
20 |
28 |
36 |
… | 12番目の周りの長さは4+8×11=92cm。 |
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(2) |
188cmのうち、最初の4cmを除くと184÷8=23なので、 周りの長さが188cmになるのは24番目の図形となる。 |
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(3) |
下の表のように、正方形の数は4、8、12、…、つまり4×(n-1) ずつ増えていくことになる。
n番目 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
正方形の個数 |
1 |
5 |
13 |
25 |
… | 12番目の正方形の数は11番目の正方形の数よりも4×(12-1) =44個多くなる。 | |
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解答:(1)92cm (2)24番目 (3)44個 | |
16. |
下の図のように、長方形をどの2本の直線が必ず交わり、どの3本の直線も同じ点で交わらない ように直線で分けていきます。 (1)1本直線を増やすと、分けられる部分が12個増えるのは直線を何本目に引いたときですか。
(2)直線を25本引いたとき、長方形はいくつに分けられますか。 |
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![](sansub2303_files/sansuub23015.gif) |
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解説: |
(1) |
下の表のように、直線をn本引くと、分けられる部分がn個増える。
本数 |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
分けられる部分 |
1 |
2 |
4 |
7 |
… | 1本直線を増やすと、分けられる部分が12個増えるのは直線を12本目に引いた ときとなる。 |
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(2) |
直線を25本引くと、分けられる部分は1+2+…+25=325個になる。 | |
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解答:(1)12本 (2)325個 | |
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