■ Hello School 算数 場合の数　■

インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。

例題１ 右の図のように、駅から科学館まで本屋を通っていく 道があります。駅から科学館まで本屋を通って行くの は全部で何通りありますか。 解説 駅から本屋までは2通りの行き方があり、本屋から科学館までは3通りの行き方がある ので、駅から本屋、本屋から科学館までの行き方は2×3＝6通り。 あることがらが起きるのがA通りあり、そこからまた他のことがらが起きるのが B通りあるとき、Aが起きてBが起きる起り方はA×B通りとなり、これを積の法則 という。 解答 6通り

例題2 A、B、C、D、Eの5人が一列に並ぶと、並び方は全部で何通りありますか。 解説 右の図のような樹形図を使って考えると、 Aが左はしにくる場合、4×3×2×1＝24通りあり、 B、C、D、Eが左はしにきたときも同じなので、 全部で5×24＝120通りになる。 A−BとB−Aで2通りとする場合を順列という。 N個のものを１列に並べるとき、その並べ方は N×(N-1)×(N-2)×…×2×1 という基本の公式がある。 解答 120通り

例題3 A、B、C、D、Eの5人から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。 解説 下の公式より、 5×4×3 3×2×1 ＝10通り A−BとB−Aを1通りとする場合を組み合わせという。 N個の中からM個を選ぶ選び方は という基本の公式がある。 解答 10通り

例題4 男子A、B、C、D、E、女子G、F、Hの中から男子3人、女子2人を選ぶとき、選び方は全部で 何通りありますか。 解説 男子A、B、C、D、Eの5人から3人を選ぶのはA−BとB−Aを1通りとする場合の組み合わせ になるので、 5×4×3 3×2×1 ＝10通り。女子G、F、Hの中から2人選ぶのは 3×2 2×1 ＝3通り。 男子5人から3人選んでから、女子3人から2人選ぶのは順列になるので、10×3＝30通り。 解答 30通り

例題5 大小2つのサイコロを同時に投げます。 (1)出た目の数の和が7になるのは何通りですか。 (2)出た目の数の和が4の倍数になるのは何通りですか。 解説 (1) 右の表のように、出た目の数の和が7になるのは6通り。 　 1 2 3 4 5 6 1 　 　 　 　 　 ○ 2 　 　 　 　 ○ 　 3 　 　 　 ○ 　 　 4 　 　 ○ 　 　 　 5 　 ○ 　 　 　 　 6 ○ 　 　 　 　 　 (2) 右の表のように、出た目の数の和が4の倍数になるのは9通り。 　 1 2 3 4 5 6 1 　 　 ○ 　 　 　 2 　 ○ 　 　 　 ○ 3 ○ 　 　 　 ○ 　 4 　 　 　 ○ 　 　 5 　 　 ○ 　 　 　 6 　 ○ 　 　 　 ○ 解答 (1)6通り　(2)9通り

例題6 A、B、C、D、Eの5人が一列に並ぶとき、Bが前から2番目になるのは全部で何通りですか。 解説 右の樹形図より、4×1×3×2×1＝24通り。 解答 24通り

例題7 A、B、Cの男子3人、D、Eの女子2人が一列に並ぶとき、女子が両はしになるのは全部で 何通りですか。 解説 Dが左はしにくる場合、1×3×2×1＝6通り。 Eが左はしにくる場合も6通りあるので、全部 で12通り。 解答 12通り

例題8 A、B、Cの男子3人、D、Eの女子2人が一列に並ぶとき、女子がとなりあうのは全部で 何通りですか。 解説 （D-E）、（E-D）を1人と考えればよい。 （D-E）の場合、4×3×2×1＝24通り。 （E-D）の場合も24通りあるので、全部 で48通り。 解答 48通り

例題9 A、B、C、D、Eの5人が1つの輪をつくるとき、並び方は全部で何通りですか。 解説 5人の並び方は全部で5×4×3×2×1＝120通り。 下の図のように5通りの並び方はすべて同じになるので、120÷5＝24通り。 解答 24通り

例題１0 長さが1cm、2cm、4cm、5cm、7cmの棒が1本ずつあり、この中から3本を使って三角形を つくるとき、全部で何種類の三角形を作ることができますか。 解説 右の図のように、一番長い辺よりも他の2つの辺の和が 小さい場合は三角形が作れないことに注意する。 一番長い辺が5cmの場合、作れる三角形は （5cm、2cm、4cm） 一番長い辺が7cmの場合、作れる三角形は （7cm、4cm、5cm） 全部で2種類となる。 解答 2種類

例題１1 右の図で3点を選んで三角形を作るとき、三角形は全部で何通り ありますか。 解説 ●A、Bから1点、C、D、Eから2点をとる場合 　A、Bから1点をとるのは2通り、C、D、Eから2点をとるのは 3×2 2×1 ＝3通りなので、全部 で6通り。 ●A、Bから2点、C、D、Eから1点をとる場合 　A、Bから2点をとるのは1通り、C、D、Eから1点をとるのは3通りなので、全部で3通り。 3点を結んで三角形を作るのは全部で6＋3＝9通り。 あることがらが起きるのがA通りあり、また他のことがらが起きるのがB通りあり、 AとBが同時に起こらない場合、起り方はA＋B通りとなり、これを和の法則という。 解答 9通り

例題１2 箱の中に赤玉、青玉、緑玉か゜それぞれ2個ずつ入っています。1度に3個取り出すとき、 同じ玉を区別しないとすると取り出し方は全部で何通りありますか。 解説 3色ともちがうのは1通り。 2色が同じになるのは6通りあるので、 全部で7通り。 解答 7通り

例題１3 6人の中から生徒会長、副会長を選ぶとき、選び方は全部で何通りになりますか。 解説 まず6人の中から生徒会長を選ぶ選び方は6通り。残りの5人で副会長を選ぶ選び方は 5通り。 残りは自動的に決定するので、全部で6×5＝30通り。 解答 30通り

例題１4 右のような方眼紙の中に大小いくつの正方形がありますか。 解説 1辺が1の正方形は12個。1辺が2の正方形は6個。1辺が3の正方形は 2個。全部で12＋6＋2＝20個。 解答 20個

例題１5 0、1、2、3のカードが1枚ずつあります。この中から2枚を選び、2けたの整数をつくります。 (1)2けたの整数はいくつできますか。 (2)偶数はいくつできますか。 (3)4の倍数はいくつできますか。 解説 (1) 十の位は1、2、3の3通りになり、一の位は十の位で選んだ数以外の3通りになるの で、3×3＝9通り。 (2) 偶数になるのは、一の位の数が0か2の場合。 一の位の数が0のとき、十の位の数は1、2、3の3通り。 一の位の数が2のとき、十の位の数は1、3の2通りなので、全部で5通り。 (3) 4の倍数は12、20、32の3通り。 解答 (1)9通り　(2)5通り　(3)3通り

例題１6 1、2、3、3のカードが1枚ずつあります。この中から3枚選び、3けたの整数をつくると整数は いくつできますか。 解説 ●（1、2、3）で3けたの整数をつくる場合 　3つの数字の並べ方と同じになるので、3×2×1＝6通り。 ●（1、3、3）で3けたの整数をつくる場合 　（1、3、3）、（3、1、3）、（3、3、1）の3通り。 ●（2、3、3）で3けたの整数をつくる場合 　（2、3、3）、（3、2、3）、（3、3、2）の3通り。 全部で6＋3＋3＝12通り。 解答 12通り

例題１7 大小2つのサイコロを同時に投げて、目の数の和が11未満になるのは全部で何通りですか。 解説 目の数の和が11未満になる場合の数を考えるよりも、11未満ではない（11以上の数） 場合の数を考えて全体から引けばよい。 2つのサイコロを投げて出る目の数は全部で6×6＝36通り。 目の数の和が10以上になるのは、右の表のように3通り。 目の数の和が11未満になるのは全部で36−3＝33通り。 　 1 2 3 4 5 6 1 　 　 　 　 　 　 2 　 　 　 　 　 　 3 　 　 　 　 　 　 4 　 　 　 　 　 　 5 　 　 　 　 　 ○ 6 　 　 　 　 ○ ○ 解答 33通り

例題１8 12チームでソフトボールの試合をします。どのチームも他のチームと1回ずつ試合をすると、 試合は全部で何試合になりますか。 解説 12個の中から2個選ぶ場合の数と同じになるので、 12×11 2×1 ＝66試合。 解答 66試合

例題１9 47校の都道府県の代表が勝ち抜き戦（トーナメント戦）をすると、試合は全部で何試合に なりますか。 解説 1つ試合をすると1つのチームが負け、優勝するチームだけが負けないので、全部で 47−1＝46試合。 解答 46試合

例題20 10円玉、50円玉、100円玉がそれぞれ10枚ずつあります。これらのお金を使って1250円に するには、全部で何通りありますか。（ただし、使わない硬貨があってもよい） 解説 右のような表を作成して考えると、11通り になる。 100円 10 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 50円 5 4 3 7 6 5 9 8 7 10 9 10円 0 5 10 0 5 10 0 5 10 5 10 解答 11通り

例題21 10円玉3枚、50円玉4枚、100円玉5枚の全部または一部で支払える金額は全部で何通り ありますか。 解説 50円玉と100円玉を使って支払える金額は、50円、100円、150円、200円、250円、 300円、350円、400円、450円、500円、550円、600円、650円、700円の14通り。 さらに10円玉が0枚、1枚、2枚、3枚の場合に分けられるので、14×4＝56通り。 また、10円、20円、30円の場合もあるので、全部で56＋3＝59通り。 解答 59通り

例題22 右の図のような道路があります。 (1)遠回りせずにアからイに行くのは 　何通りありますか。 (2)遠回りせずにウを必ず通ってイに 　行くのは何通りありますか。 (3)遠回りせずにウを通らないでイに 　行くのは何通りありますか。 解説 (1) 右の図のように、それぞれの 角はその前までの場合の数 の和となる。 したがって、その計算で作図 していくと、56通りとなる。 (2) ウまで10通りあり、ウからイまで 3通りあるので、全部で 10×3＝30通り。 (3) アからイまでの行く行き方は全部で56通りあり、ウを必ず通る行き方は30通りなの で、ウを通らずに行く行き方は56−30＝26通り。 解答 (1)56通り　(2)30通り　(3)26通り

例題23 右のような図形のア、イ、ウを赤、青、緑、黄の4色を使って色分けし ます。 (1)色の分け方は全部で何通りありますか。 (2)全てちがう色にすると、色の分け方は全部で何通りありますか。 (3)となりが同じ色にならない分け方は全部で何通りありますか。 解説 (1) ア、イ、ウのそれぞれに4色ぬれるので、4×4×4＝64通り。 (2) アを赤でぬる場合、3×2＝6通りある。 青、緑、黄の場合も同じなので、6×4＝24通り。 (3) アを赤でぬる場合、3×3＝9通りある。 青、緑、黄の場合も同じなので、9×4＝36通り。 解答 (1)64通り　(2)24通り　(3)36通り

例題24 右の図のように、ある川のA地点から B地点まで渡れる石を11個おきました。 A地点からB地点までこの石を1個ずつ または2個ずつわたるのを混ぜてよい ものとすると、渡り方は全部で何通り ありますか。 解説 1番目の石は1通り。 2番目の石は1個ずつと2個で2通り。 3番目の石は1番目（1通り）から2個か 2番目から1個（2通り）で3通り。 石の数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 渡り方 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 4番目は2番目から2個（2通り）か3番目から1個（3通り）で5通り。 渡り方は2つ前の渡り方と前の渡り方の和になっている。 表にすると、11個まで144通りとなる。 解答 144通り

例題25 大小2つのサイコロを同時に投げて、目の数の和が3の倍数になる確からしさを求めなさい。 解説 目の出かたは全部で6×6＝36通り。 目の数の和が3の倍数になるのは右の表のように12通り。 確からしさは 12 36 ＝ 1 3 　 1 2 3 4 5 6 1 　 ○ 　 　 ○ 　 2 ○ 　 　 ○ 　 　 3 　 　 ○ 　 　 ○ 4 　 ○ 　 　 ○ 　 5 ○ 　 　 ○ 　 　 6 　 　 ○ 　 　 ○ 解答 1 3

練習問題

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