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| １． |
(1) |
Ｄ＝４2－４・（－２）・（－２）
＝０
共有点は１個で
－２ｘ2＋４ｘ－２＝０とすると、
ｘ2－２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）2＝０
ｘ＝１
共有点は（１，０）
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(2) |
Ｄ＝（－２）2－４・３・５
＝－５６＜０
よって、共有点はない。
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(3) |
Ｄ＝｛－３（ａ＋２）｝2－４・１・９ａ
＝９ａ2＋３６＞０
共有点は２個で |
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ｘ＝ |
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共有点は
| （ |
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，０） |
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| ２． |
(1) |
ｘ2－４ｘ＋４ｋ－１２
＝（ｘ－２）2＋４ｋ－１６
＝（ｘ－２）2＋４（ｋ－４）
ｋ＜４のとき２個
ｋ＝４のとき１個
ｋ＞４のとき０個
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(2) |
２ｘ2－７ｘ＋５
＝（２ｘ－５）（ｘ－１）
よって、
ｘ軸から切り取られる線分の長さは
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(3) |
| ｘ＝ |
 | ｘ軸から切り取られる線分の長さが４であることから
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－ |
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＝４ |
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＝４ | ｍ2－４ｎ＝１６から
したがってｍ＝０で最小値－４をとる。 |
(4) |
実数の解をもたない条件は
Ｄ＝（－ｋ）2－４・３（２ｋ＋１）＜０
ｋ2－２４ｋ－１２＜０
ｋ2－２４ｋ－１２＝０を解くと、
| ｋ＝１２±２ |
 | よって、求める解は
| １２－２ |
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＜ｋ＜１２＋２ |
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| ３． |
(1) |
３ｘ2－２２ｘ－１６＝０を解くと、
（３ｘ＋２）（ｘ－８）＝０
よって、３ｘ2－２２ｘ－１６≧０の解は
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(2) |
２（ｘ2＋５ｘ）＞－９
２（ｘ2＋５ｘ）＋９＞０
２ｘ2＋１０ｘ＋９＞０
２ｘ2＋１０ｘ＋９＝０を解くと、
| ｘ＝ |
 | よって、２（ｘ2＋５ｘ）＞－９の解は
| ｘ＜ |
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， |
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＜ｘ | |
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(3) |
両辺に－１をかけると
６ｘ2＋ｘ－５≦０
６ｘ2＋ｘ－５＝０を解くと、
（３ｘ＋５）（２ｘ－３）
よって、－６ｘ2－ｘ＋５＝０の解は
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(4) |
両辺に－４をかけると
４ｘ2－８ｘ＋１≦０
４ｘ2－８ｘ＋１＝０を解くと、
| ｘ＝ |
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≦ｘ≦ |
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(5) |
両辺に をかけると
３ｘ2－６ｘ－３＞０
両辺を３で割ると
ｘ2－２ｘ－１＞０
ｘ2－２ｘ－１＝０を解くと、
ｘ＝±２
よって、ｘ2－６ｘ－の解は
ｘ＜－２，＋２＜ｘ
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(6) |
（ｘ＋３）2≧０
求める解は全ての実数 |
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(7) |
３ｘ2＋１２ｘ＋１３
＝３（ｘ＋２）2＋１
は常に正なので、解はない。 |
(8) |
両辺に－１をかけて、
９ｘ2－１２ｘ＋４≦０
（３ｘ－２）2≦０
３ｘ－２＝０のとき（３ｘ－２）2＝０
３ｘ－２≠０のとき（３ｘ－２）2＞０
よって、求める解は
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(9) |
４ｘ2－４ａｘ＋ａ2
＝（２ｘ－ａ）2＞０
２ｘ－ａ≠０ならば（２ｘ－ａ）2＞０が成り立つので、
求める解は
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| ４． |
(1) |
ｙ＝│２－ｘ2│＝│ｘ2－２│において、
ｘ2－２＝（ｘ＋ ）（ｘ－）
よって、ｘ2－２≧０の解は
ｘ≦－，≦ｘ
ｘ2－２＜０の解は
－＜ｘ＜
ゆえに、ｘ≦－，≦ｘのとき、
ｙ＝ｘ2－２
－＜ｘ＜のとき、
ｙ＝－（ｘ2－２）＝ｘ2＋２
右の図のようになる。 |
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(2) |
ゆえにｘ≦－３，６≦ｘのとき、
－３＜ｘ＜６のとき、
右の図のようになる。 |
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| ５． |
(1) |
２次不等式ａｘ2＋４ｘ＋ｂ＜０の解が－１＜ｘ＜２
であるから、
放物線ｙ＝ａｘ2＋４ｘ＋ｂは下に凸で、
ｘ軸と２点（－２，０），（１，０）と交わる。
ゆえにａ＞０で
４ａ－１６＋ｂ＝０
ａ＋４＋ｂ＝０
連立方程式を解いて
これはａ＞０を満たしている。 |
(2) |
２次不等式２ａｘ2＋６ｂｘ＋１≦０の解が
ｘ≦－２，３≦ｘであるから、
放物線ｙ＝２ａｘ2＋６ｂｘ＋１は上に凸で、
ｘ軸と２点（－２，０），（３，０）と交わる。
ゆえにａ＜０で
４ａ－１２ｂ＋１＝０
９ａ＋１８ｂ＋１＝０
連立方程式を解いて
これはａ＜０を満たしている。 | |
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| ６． |
２次不等式３ｘ2＋６ｘ＋ｋ≧０の解がすべての実数になるとき、ｘ2の係数３＞０なので、
Ｄ＝３６－１２ｋ≦０
よって、ｋ≧３
ゆえにｋの最小値はｋ＝３ | |
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