■ Hello School 高校数学 数Ⅰ(ハロⅠ) 2次不等式(1) 解答■
インターネットで数学の問題を考えようね♪
間違えた問題はもう一度解き直しておこうね♪
1. (1)  D=42-4・(-2)・(-2)
 =0

共有点は1個で
-2x2+4x-2=0とすると、
2-2x+1=0
(x-1)2=0
x=1
共有点は(1,0)
 
(2) D=(-2)2-4・3・5
 =-56<0

よって、共有点はない
 
(3)  D={-3(a+2)}2-4・1・9a
 =9a2+36>0

共有点は2個で
x=
共有点は
,0)

 
2. (1)  2-4x+4k-12
=(x-2)2+4k-16
=(x-2)2+4(k-4)

k<4のとき2個
k=4のとき1個
k>4のとき0個

 
(2)  2x2-7x+5
=(2x-5)(x-1)
よって、
x=
,1
x軸から切り取られる線分の長さは
-1=
(3)
x=
x軸から切り取られる線分の長さが4であることから
=4
=4
2-4n=16から
n=
2-4
したがってm=0で最小値-4をとる。
(4) 実数の解をもたない条件は
D=(-k)2-4・3(2k+1)<0

2-24k-12<0
2-24k-12=0を解くと、
k=12±2
よって、求める解は
12-2 <k<12+2
 
3. (1)  3x2-22x-16=0を解くと、
(3x+2)(x-8)=0
x=-
,8
よって、3x2-22x-16≧0の解は
x≦-
,8≦x
 
(2)  2(x2+5x)>-9
2(x2+5x)+9>0
2x2+10x+9>0

2x2+10x+9=0を解くと、
x=
よって、2(x2+5x)>-9の解は
x< <x
(3)  両辺に-1をかけると
6x2+x-5

6x2+x-5=0を解くと、
(3x+5)(2x-3)
x=-
よって、-6x2-x+5=0の解は
≦x≦
 
(4) 両辺に-4をかけると
4x2-8x+1

4x2-8x+1=0を解くと、
x=
よって、 2x+2x-
≧0 の解は
≦x≦
(5) 両辺にをかけると
3x2-6x-3>0
両辺を3で割ると
2-2x-1>0

2-2x-1=0を解くと、
x=±2
よって、2-6x-の解は
x<-2,+2<x
 
(6) (x+3)2≧0
求める解は全ての実数
(7) 3x2+12x+13
=3(x+2)2+1
は常に正なので、解はない。
(8) 両辺に-1をかけて、
9x2-12x+4
(3x-2)2≦0
3x-2=0のとき(3x-2)2=0
3x-2≠0のとき(3x-2)2>0
よって、求める解は
x=
(9) 4x2-4ax+a2
=(2x-a)2>0
2x-a≠0ならば(2x-a)2>0が成り立つので、
求める解は
以外のすべての実数
  
4. (1) y=│2-x2│=│x2-2│において、
2-2=(x+)(x-
よって、x2-2≧0の解は
x≦-≦x
2-2<0の解は
<x<
ゆえに、x≦-≦xのとき、
y=x2-2
<x<のとき、
y=-(x2-2)=x2+2

右の図のようになる。

 
(2)
y=│
2-x-6│において、
2-x-6=
(x+3)(x-6)
2-x-6≧0の解はx≦-3,6≦x
2-x-6<0の解は-3<x<6
ゆえにx≦-3,6≦xのとき、
y=
2-x-6=
(x-
2
27
-3<x<6のとき、
y=-(
2-x-6)=-
(x-
2
27

右の図のようになる。
 
5. (1)  2次不等式ax2+4x+b<0の解が-1<x<2 
であるから、
放物線y=ax2+4x+bは下に凸で、
x軸と2点(-2,0),(1,0)と交わる。
ゆえにa>0で
4a-16+b=0
a+4+b=0
連立方程式を解いて
a=
20
 b=-
32
これはa>0を満たしている。
(2)  2次不等式2ax2+6bx+1≦0の解が
x≦-2,3≦xであるから、
放物線y=2ax2+6bx+1は上に凸で、
x軸と2点(-2,0),(3,0)と交わる。
ゆえにa<0で
4a-12b+1=0
9a+18b+1=0
連立方程式を解いて
a=-
30
 b=-
13
180
これはa<0を満たしている。
 
6. 2次不等式3x2+6x+k≧0の解がすべての実数になるとき、x2の係数3>0なので、
D=36-12k≦0
よって、k≧3
ゆえにkの最小値はk=3
商用目的での利用を固く禁じます
ハロⅠ目次   Top