■　Hello School　数学（ハロ数）　Ver.2　中１　比例　練習問題　解答と解説　■
インターネット上で中学校の数学を勉強できるよ。
１．次の①～⑧について、変数aの変域を不等式または等式と数直線で表しなさい。

①　aは5よりも大きい。　　　②　aは-2以上3より小さい。　　　③　aは正の数である。
④　aは8よりも小さく負の数ではない。　　　⑤　aは正の数でもなければ負の数でもない。
⑥　aは6以上-3以下である。　　　⑦　aは正の数または負の数である。
⑧　aは負の整数以下である。
解答：

　
２．次のa～dの座標を右図に書き入れなさい。
　　(座標がわかる形であればよい)

　(1)　a( 4 , 2 , 4 )　　(2)　b( -6 , 1 , 2 )
　(3)　c( -3 , -4 , -2 )　　(4)　d( 1 , -5 , -4 )
解答：右図参照
　
３．次の変数x、yの変域を求めなさい。

　(1)　直角三角形ABCで、角A＝x、角B＝90°、角C＝y。
　(2)　1000円を2人で分けるとき、一方がx円、他方がy円。
　(3)　周りの長さが24cmの長方形で、縦の長さがxcm、横の長さがycm。
　(4)　長さ18cmのろうそくが1分間に0.3cmずつ燃えていく。火をつけてからx分後のろうそくの残りの長さycm。
　(5)　ガソリン1リットルで24km走ることができる車にガソリンを30リットル入れてで480kmを走るとき、xkm
　　　走ったときの残りのガソリンyリットル。
解答：(1)　0°<x<90°　0°<y<90°　(2)　0≦x≦1000　0≦<y≦1000　　(3)　0<x<12　0<y<12
　　　 (4)　0≦x≦60　0≦<y≦18　　(5)　0≦x≦480　10≦<y≦30
　　
４．yはxに比例し、x＝
1
2- 3
4
のとき、y＝
5
6- 7
8
である。y＝
9
10- 9
50
のとき、xの値を求めなさい。
解答：x＝9
解説：
y＝axに、x＝
1
2- 3
4
、y＝
5
6- 7
8
を代入して、a＝
50
41
y＝
50
41
aに、y＝
9
10- 9
50
を代入して、x＝9。
　
５．yはxに比例し、x＝
1
2
+
1
3
のとき、y＝
1
3
+
1
4
である。x＝
1
4
+
1
5
のとき、
yの値を
a
b
+
a
c
で表しなさい。
解答：
3
10
+
3
200
解説：
y＝axに、x＝
1
2
+
1
3
＝
5
6
、y＝
1
3
+
1
4
＝
7
12
を代入して、a＝
7
10
y＝
7
10
aに、x＝
1
4
+
1
5
＝
9
20
を代入して、y＝
63
200
。
63
200
＝
60
200
+
3
200
＝
3
10
+
3
200
。
　
６．yはxに比例し、そのグラフは点( 5 , 3 )を通る。このグラフに原点で直角に交わる比例の式を求めなさい。
解答： y＝ -
5
3
x
解説：
y＝axに、x＝5、y＝3を代入して、a＝
3
5
。
このy＝
3
5
xのグラフに原点で直角に交わるには下図のように２つの合同の三角形を
組み合わせるとできる。直角に交わる比例のグラフは点( -3 , 5 )を通るので、その比例
の式はy＝-
5
3
x 。
2つの直線の比例定数の積が-1となる場合、
その２直線は直交するよ。
　
７．y-3はx+3に比例し、x＝-5のときy＝-1である。これについて次の各問いに答えなさい。
　(1)　x＝6のときyの値を求めなさい。
　(2)　y＝11のときxの値を求めなさい。
解答： (1)　y＝21　　(2)　x＝1
解説： (1)　y-3はx+3に比例することから、y-3＝a(x+3)と表される。x＝-5、y＝-1を代入して、
　a＝2。y-3＝2(x+3)にx＝6を代入して、y＝21。

(2)　y-3＝2(x+3)にy＝11を代入して、x＝1。
　
８．１日（24時間）で6分遅れる時計がある。ある日の正午に正しい時刻にあわせた。この時計が翌朝の８時ちょうどを
　　示すとき、正しい時刻を求めなさい。
解答： 8時5分
解説：
24時間で6分遅れることから、この時計は1時間で。
1
4
分遅れる。正午から翌朝8時までは20時間。
20時間で20×
1
4
＝5分遅れる。
　
９．右の図で、四角形ABOCは平行四辺形で点Bの座標は(-8、0)、
　　点Cの座標は(2、6)である。これについて、次の各問いに答え
　　なさい。

　(1)　OCを通る直線の式を求めなさい。

　(2)　OAを通る直線の式を求めなさい。

　(3)　三角形ABOの面積を二等分するOMの直線の式を求めなさい。
解答：(1)　y＝3x　　(2)　y＝-x　　(3)　y＝-
3
7
x
解説： (3)
ABの真ん中の点（中点）を通れば三角形ABOの面積は
二等分される。
２点(a、b)、(c、d)の中点は (
a+c
2
、
b+d
2
) で求まる。
ABの中点Mの座標は(-7、3)となり、OMを通る直線の式は
y＝-
3
7
x。
　
10．右の図で、点Aはy＝3x上にあり、四角形ABCDが正方形になるように
　つくる。これについて、次の各問いに答えなさい。

　(1)　点Aのx座標が4のとき、正方形ABCDの面積を求めなさい。

　(2)　点Aがy＝3x上にあるとき、正方形ABCDの点Dはある直線上にある。
　　　この直線の式を求めなさい。
解答：(1)　144　　(2)　y＝
3
4
x
解説： (2)
点Aのx座標をtとすると、点Aのy座標は3t、点Cのx座標は4t
となり、点Dの座標は(4t、3t)となる。
y＝axに、x＝4t、y＝3tを代入して、a＝
3
4
が求まる。
　
11．右の図で、四角形ABCD、四角形PQRSは各辺が座標軸に平行で
　　ある。また、点Bがy＝-2x上にあって、そのx座標が3、BCの長さが6、
　　長方形ABCDの面積が18になるとき、次の各問いに答えなさい。

(1)　点Dの座標を求めなさい。

(2)　直線ODの式を求めなさい。

(3)　四角形PQRSの面積が81となる正方形になるとき、点Rの座標を
　　求めなさい。
解答：(1)　(9、-3)　　(2)　 y＝-
1
3
x　　(3)　R(
81
5
、
72
5
)
解説：
(1) 長方形ABCDの横の長さが6、面積が18から、縦の長さは3。点Bの座標は(3、-6)から、
点Dの座標は(9、-3)。
(2)
(1)より、点Dの座標が(9、-3)から、y＝axにx＝9、y＝-3を代入して、a＝-
1
3
。
(3)
正方形PQRSの面積が81から、一辺の長さは9。また、点Pのx座標をtとすると、点Sのx座標は
(t+9)となる。点Qのy座標から点Pのy座標を引いた長さが-9になればよいので、
-2t -　｛ -
1
3
(t+9) ｝ ＝-9
これを解くと、t＝
36
5
。点Rの座標は(
81
5
、-
72
5
)。
　
12．右の図で、直線OCの式はy＝
4
5
x、直線OBの式はy＝axとする。
　また、点A、Dはx軸上にあり、四角形ABCDは長方形である。AB：BC＝
　2：3のとき、aの値を求めなさい。
解答：a＝
4
11
解説：
点Dのx座標を-tとすると、点Cの座標は(-t、-
4
5
t)。ADの長さは
4
5
t ×
3
2
＝
6
5
t。
点Bのx座標は(-t-
6
5
＝-
11
5
t、-
4
5
t)。
y＝axに、x＝-
11
5
t、y＝-
4
5
tを代入して、a＝
4
11
。
　
13．座標平面上に、点A(-4、6)と点B(3、2)がある。この平面上に
　　y＝axと２点ABを結んだ線分と交わるとき、aの値を不等号を
　　使って表しなさい。
解答： (1)　-
2
3
≦a≦
3
2
解説：
グラフより、直線OAの式はy＝-
2
3
x、直線OBの式は
y＝
3
2
x。
　
14．y＝axで、-6≦x≦3の範囲のとき、-2≦y≦4の範囲をとる。これについて次の各問いに答えなさい。

　　(1)　aの値を求めなさい。

　　(2)　xの変域が2≦x≦2＋pのとき、yの変域が3≦y≦3＋qとなる。p、qの値を求めなさい。
解答： (1)　y＝-
2
3
x　　(2)　p＝-
13
6
　q＝-
13
3
解説：
(1)　右図のように、a>0の場合のみ、
　　条件に適合する。
(2)　(2、3＋q)と(2＋p、3)を通る。
　3＋q＝-
2
3
×2より、q＝-
13
3
。
　3＝-
2
3
×(2＋p)より、p＝-
13
6
。
　
15．AB＝24cm、AC＝48cm、BE＝36cmで、角ABC＝角ABEが直角
　になっている。また、直角三角形ABCの辺BC上を、頂点Bから頂点C
　まで動く点pがある。点pが動いた長さをxcm、xと同じ長さとなる点を
　点q、三角柱ABp-DEqの体積をycm3とするとき、次の各問いに答え
　なさい。ただし、x > 0とする。(三角柱の体積は底面積×高さで求ま
　る。)

　(1)　yをxの式で表しなさい。

　(2)　x、yの変域をそれぞれ求めなさい。
解答：(1)　y＝432x　　(2)　0 < x ≦ 48　　0 < y ≦ 20736
　
16．右のグラフについて次の各問いに答えなさい。

　(1)　yをxの式で表しなさい。

　(2)　xの変域が-3≦x≦2のときyの変域を求めなさい。
解答： (1)　y＝│x│　　(2)　0≦y≦3
　　
17． (a)　図Ⅰでは歯数16の歯車Aと歯数32の歯車Bと歯数24
　　の歯車Cがかみ合っている。これについて、次の各問い
　　に答えなさい。

(1)　歯車Bがx回転する間に歯車Aがy回転、歯車Cがz回転
　　するとき、yをxの式で、zをxの式で表しなさい。
　　ただし、x > 0とする。

(2)　歯車Aがx回転する間に歯車Bがy回転、歯車Cがz回転
　　するとき、yをxの式で、zをxの式で表しなさい。
　　ただし、x > 0とする。


(b)　図Ⅱでは歯数16の歯車Aと歯数32の歯車B、歯数24
　　の歯車Cと歯数12の歯車Dがかみ合っている。また、
　　歯車Bと歯車Cは同じ軸でくっついている。これについて
　　各問いに答えなさい。

(1)　歯車Bがx回転する間に歯車Aがy回転、歯車Dがz回転
　　するとき、yをxの式で、zをxの式で表しなさい。
　　ただし、x > 0とする。
 図Ⅰ




図Ⅱ

(2)　歯車Aがx回転する間に歯車Bがy回転、歯車Dがz回転するとき、yをxの式で、zをxの式で表しなさい。
　　ただし、x > 0とする。
解答：(a)　(1)　ｙ＝2x　　z＝
3
2
y　　(2)　y＝
1
2
x　　z＝
3
4
x
　　(b)　(1)　y＝2x　　z＝2y　　(2)　y＝
1
2
x　　z＝x
解説：
(a)　(2) yをxの式で表すと、　y＝
1
2
x。　zをyの式で表すと、z＝
3
2
y。
　　　　yに
1
2
xを代入して、z＝
3
4
x。
(b)　(2) yをxの式で表すと、　y＝
1
2
x。　zをyの式で表すと、z＝2y。
3
2
y。
　　　　yに
1
2
xを代入して、z＝x。
　
18．yはxに比例し、x＝-3のときy＝-18である。また、zはyに比例し、y＝48のときz＝-4である。
　これについて以下の問いに答えなさい。
　(1)　yをxの式で、zをyの式でそれぞれ表しなさい。
　(2)　(1)で求めた式を1つのグラフで表しなさい。
解答：
(1)　y＝6x　　　z＝-
1
12
y　　(2)下図参照
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