| ■ Hello School 数学（ハロ数） Ver.2 中１ 方程式（文章題） 練習問題 解答と解説 ■ |
| インターネット上で中学校の数学を勉強できるよ。 |
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１．次の方程式が( )の中に示された解をもつとき、aの値を求めなさい。
| (1) ax－12＝4x－18 (x＝3) (2) 2x＋a＝5ax－36 (x＝3) |
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| (3) -ax－3(a＋4)x＋2a＋6＝0 (x＝-2) (4) 3x－(11－a)x－2a＝3a(x－2) |
( |
x＝ |
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) |
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| (5) |
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－ |
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＝-5 (x＝5) (6) |
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＋ |
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＝2 (x＝3) |
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| (7) |
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－ |
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＝ |
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(x＝-1) (8) 2x－5a＝-x＋24 (x＝-2a＋1) |
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| (9) (x＋1)：(ax－7)＝2：3a (x＝4) (10) 3(x－2)－5(x＋3a)＝23 |
( |
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－ |
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＝ |
|
－ |
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の解に等しい |
) |
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解答：(1) a＝-6 (2) a＝3 (3) a＝-3 (4) a＝1 (5) a＝1
(6) a＝-9 (7) a＝-5 (8) a＝-3 (9) a＝-4 (10) a＝2 |
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２．次の問題を方程式で解きなさい。
(1) 現在、母の年齢ははろ美さんの年齢のちょうど3倍で、12年後にはちょうど2倍になる。はろ美さん
は現在何歳ですか。
(2) 150人の生徒に赤い表紙のノートと白い表紙のノートをどちらか好きな方を選ばせて渡したところ、
赤い表紙のノートを選んだ生徒は白い表紙のノートを選んだ生徒の2倍より12人多かった。赤い
表紙のノートを選んだ生徒の人数を求めなさい。
(3) はろ美さんは14000円、すく男君は8000円持っています。毎月、はろ美さんは1500円、すく男君は
700円ずつ貯金すると、はろ美さんの貯金額がすく男君の貯金額の2倍になるのは何年何ヵ月後か
を求めなさい。
(4) ノート30冊を買おうとしたところ、持っているお金では800円不足し、25冊買おうとしても200円不足する。
ノート1冊の値段を求めなさい。
(5) ノート4冊とシャーペン5本の代金は2290円で、シャーペン1本はノート1冊よりも170円高い。シャーペン
1本の値段を求めなさい。
(6) はろ美さんは、1本160円のボールペンを11色買おうと思い、2000円を持ってお店に行った。ところが
ボールペンが値上がりしていたので79円足りなかった。ボールペンはいくら値上がっていたかを求め
なさい。ただし、消費税5％を支払うものとする。
(7) 連続する3つの偶数があり、その和は324である。一番大きい数を求めなさい。
(8) 和が164になる２つの自然数があり、大きい数を小さい数で割ると商が6で余りが3になる。大きい数を
求めなさい。
(9) はろ美さん、すく男君、数子さんの数学のテストの点数について、はろ美さんは数子さんよりも27点低く、
すく男君は数子さんよりも30点低く、３人の平均点は80点であった。はろ美さんの点数を求めなさい。
(10) ある水槽に一定の割合で給水する3本の給水管A、B、Cがある。Aは毎時15m3の割合で給水し、
満水にするのに、Bだけ使うと1時間、Cだけ使うと3時間、BとCを同時に使うと、AとBを同時に使う場合
の2倍かかる。Cの毎時給する水の量は何m3か。
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解答：(1) 12年後 (2) 46人 (3) 1年8ヶ月 (4) 120円 (5) 330円
(6) 20円 (7) 110 (8) 141 (9) 72点 (10) 3m3 |
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| 解説： |
(1) 現在のはろ美さんの年齢をx才とすると、母の年齢は3x才。12年後の年齢の関係は
2(x＋12)＝3x＋12
となる。これを解くとx＝12。
(2) 白い表紙を選んだ生徒をx人として方程式を立てると、
2x＋12＋x＝150
となる。これを解くとx＝46。
(3) はろ美さんの貯金額がすく男君の貯金額の2倍になる月をxとして方程式を立てると、
14000＋1500x＝2(8000＋700x)
となる。これを解くとx＝20。
20ヶ月は1年8ヶ月となる。
(4) ノート1冊の値段をx円として方程式を立てると、
30x－800＝25x－200
となる。これを解くとx＝120。
(5) ノート1冊の値段をx円として方程式を立てると、
4x＋5(x＋170)＝2290
となる。これを解くとx＝160。
シャーペンは160＋170＝330円。
(6) ボールペン1本の値段をx円として方程式を立てると、
11x×1.05＝2079
となる。これを解くとx＝180。値上がりしたのは20円。
(7) 真ん中の偶数をxとして方程式を立てると、
(x－2)＋x＋(x＋2)＝324
となる。これを解くとx＝108。
一番大きい偶数は110。
(8) 大きい数をxとすると、小さい数は164－xで表される。
方程式を立てると、
(x－3)÷(164－x)＝6 → x－3＝6(164－x)
となる。これを解くとx＝141。
(9) はろ美さんの点数をxとすると、数子さんはx＋27、すく男君はx－3
と表される。平均が80点なので3人の合計は240点。
x＋(x＋27)＋(x－3)＝240
となる。これを解くとx＝72。
(10) Cが1時間に給水する量をxとすると、Bは3xと表される。
BとCを同時に1時間給水する量はx＋3x＝4x、AとBを同時に1時間給水する量は15＋3x。
方程式を立てると、
4x×2＝15＋3x
となる。これを解くとx＝3。 |
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３．次の問題を方程式で解きなさい。
(1) Hello Schoolからはろ美さんが分速70mで駅に向かって出発し、その3分後にすく男君が分速80mで
追いかけた。すく男君がはろ美さんに追いつくのはHello Schoolから何mのところですか。
(2) A駅からB駅まで27km離れている。今、A駅から普通列車が、B駅から特急列車が同時に出発し、
普通列車の速さは時速72km、特急列車の速さは時速90kmで走っている。2つの列車が出会い始めるのは
何分後ですか。
(3) 時速54kmの普通列車が鉄橋に入り始めた12秒後に、時速90kmの特急列車が鉄橋に入り始め、2つの
列車は鉄橋の真ん中ですれちがい始めた。この鉄橋の長さを求めなさい。
(4) Hello Schoolから駅まで時速12kmの自転車で4時10分に出発するすると、時速4.8kmで歩いて4時に出発
するよりも2分早く着く。Hello Schoolから駅までの距離を求めなさい。
(5) はろ美さんの家からバス停までとバス停から図書館までの距離の比は2:9である。はろ美さんは
家からバス停まで分速80mで歩き、5分バスを待ってから時速36kmの速さで走るバスに乗って図書館
まで行くのに49分かかった。はろ美さんの家から図書館まで何kmありますか。
(6) A駅を出発し、山頂を越えてB駅を往復する列車がある。列車は上りでは時速60km、下りでは時速72km
で走り、行きは24分、帰りは36分かかった。A駅からB駅までの道のりを求めなさい。
(7) Ａ町からＢ町を通ってＣ町まで36kmある。Ａ町からＢ町まで時速6km、Ｂ町からＣ町まで時速10kmの速さ
で進み、5時間かかった。B町からC町までの距離を求めなさい。
(8) 3時と4時の間で、長針と短針がつくる角度が180°になる時刻を求めなさい。
(9) 4時と5時の間で、長針と短針が重なる時刻を求めなさい。
(10) 5時と6時の間で、長針と短針がつくる小さい方の角度のうち、最初に90°になる時刻を求めなさい。
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| (1) 1680m (2) 10分後 (3) 900m (4) 1600m (5) 12.1km |
| (6) 7200m (7) 15km (8) 49 |
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分後 (9) 21 |
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分後 (10) 10 |
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分後 |
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(1) はろ美さんが3分進んだ距離は210m。x分後にすく男君が追いつくとすると、
210＋70x＝80x
となり、これを解くとx＝21。
21分後のすく男君の距離は80×21＝1680m。
(2) 27km＝27000m、時速72km＝分速1200m、時速90km＝分速1500mで考える。
出会うまでの時間をx分として方程式を立てると、
1200x＋1500x＝27000。
これを解くとx＝10。
(3) 時速54km＝秒速15m、時速90km＝秒速25mで考える。
普通列車が12秒進んだ距離は12×15＝180m。2つの列車が出会うまでの時間を
x秒として方程式を立てると、
180＋15x＝25x。
これを解くと、x＝18。
鉄橋の長さは18×25×2＝900m。
(4) 時速12km＝分速200m、時速4.8km＝分速80mで考える。
歩いてHello Schoolから駅までかかる時間をx分として方程式を立てると、
80x＝200(x-12)。
これを解くと、x＝20。
Hello Schoolから駅までは80×20＝1600m。
(5) 時速36km＝分速600mで考える。
はろ美さんの家からバス停までの距離をxmとすると、バス停から図書館までは
|
| 4.5xmとなる。関係を方程式にすると、 |
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＋ |
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＝44。 |
これを解くと、x＝2200。
はろ美さんの家から図書館までは
2200＋2200×4.5＝12100m＝12.1km。
(6) 時速60km＝分速100m、時速72km＝分速120mで考える。
A駅からB駅までの道のりをxmとすると、 |
これを解くと、x＝7200。
(7) B町からC町までの距離をxkmとするとA町からB町までの距離は(36－x)km。
|
これを解くと、x＝15km。
(8) 3時のとき、長針と短針がつくる角度は90°。長針と短針がつくる角度が
180°になるには長針が短針よりも270°進んだときになる。
方程式を立てると、 6x－0.5x＝270。
|
(9) 4時のとき、長針と短針がつくる角度は120°。長針と短針が重なるには
長針が短針よりも120°進んだときになる。
方程式を立てると、6x－0.5x＝120。 |
(10) 5時のとき、長針と短針がつくる角度は150°。長針と短針がつくる角度が
最初に90°になるには長針が短針に60°縮めたときになる。
方程式を立てると、6x－0.5x＝60。 |
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４．次の問題を方程式で解きなさい。
(1) 静水時には時速2.4kmのペースで進むボートに乗って、下流にあるA地点から上流にあるB地点まで往復
した。行きは20分こいで4分休むことを繰り返し、帰りは5分こいで3分休むことを繰り返して、行きも帰りも
1時間20分かかった。A地点からB地点までの距離を求めなさい。ただし、休んでいるときは、ボートは川
の流れの速さに流されるものとする。
(2) 毎年行われるイベントがあり、昨年は2400人が参加した。今年は男性が5％増加したものの、女性が
8％減少したので全体は42人の減少となった。今年の男性の参加人数を求めなさい。
| (3) 12000円の商品をはろ美さんは所持金の |
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を、すく男君は所持金の |
|
を出したところ、 |
残ったはろ美さんの所持金はすく男君の残った所持金の2倍より400円少なかった。はじめのはろ美さん
の所持金を求めなさい。 |
(4) 9％の食塩水と14％の食塩水を混ぜて10％の食塩水400gをつくるには、それぞれ何gずつ混ぜれば
よいですか。
(5) 19％の食塩水に6％の食塩水を混ぜ、さらに水を1300gを加えると、3％の食塩水1800gができた。18％の
食塩水の量を求めなさい。
(6) 18％の食塩水600gに水を加えて12％の食塩水をにするには水を何g加えればよいか。
(7) 2％の食塩水agと6％の食塩水bgを混ぜ合わせて3％の食塩水になった。このときa：bを最も簡単な整数
の比で表しなさい。
(8) ある商品を1個1200円で何個か仕入れ、1500円で売ったところ、24個が売れ残ったが全体として
15％の利益があった。仕入れた商品の個数を求めなさい。
(9) 定価の25％引きで売っても5％の利益が出るようにするには、定価は仕入れ値の何％増しにすれば
よいか。
(10) 1200円の商品を8％値上げすると、売り上げ個数は今までよりも15％減少し、393600円の減収となった。
今まで売れていた売り上げ個数を求めなさい。
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解答：(1) 2360m (2) 1050人 (3) 8500円 (4) 80g (5) 200g
(6) 300g (7) 3：1 (8) 300個 (9) 40％ (10) 4000個 |
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(1) 時速2.4km＝分速40m、1時間20分＝80分で考える。
川の流れの速さを分速xmとすると、行き(上り)の速さは分速(40－x)m、
帰り(下り)の速さは分速(40＋x)mとなる。
行きにボートをこいだ時間は80÷24＝3あまり8分で、
20分を3回と8分の68分、流された時間は4分が3回の12分となる。
A地点からB地点までの距離を表すと、
68(40－x)－12x＝2720－80x …①。
帰りにボートをこいだ時間は80÷8＝10で、
5分を10回の50分、流された時間は3分が10回の30分となる。
A地点からB地点までの距離を表すと、
50(40＋x)＋30x＝2000＋80x …②。
①と②は同じ距離なので、
2720－80x＝2000＋80x。
これを解くと、x＝4.5。
A地点からB地点までの距離は①または②にx＝4.5を代入して
2000＋80×4.5＝2360m。
(2) 昨年の男性の人数をx人とすると、昨年の女性の人数は(2400－x)人。
今年の人数の方程式を立てると、
1.05x＋0.92(2400－x)＝2358。
これを解くと、x＝1000人。
今年の男性は1000×1.05＝1050人。
(3) すく男君の残った金額をx円とすると、はろ美さんの残った金額は
(2x－400)円。また、はろ美さんの所持金は残った金額の2.5倍、
すく男君の所持金は残った金額の4倍になるので、それぞれの所持金は
はろ美さんが(5x－1000)円、すく男君が4x円となる。 |
| 方程式を立てると、 |
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(5x－1000)＋ |
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4x＝12000 |
3x－600＋3x＝12000
これを解くと、x＝1900円。
はじめのはろ美さんの所持金は5×1900－1000＝8500円。
(4) 9％の食塩水の量をxgとして方程式を立てると、
0.09x＋0.14(400－x)＝40。
これを解くと、x＝320g。
14％の食塩水は80g。
(5) 19％の食塩水の量をxgとすると、6％の食塩水は(500－x)g。
関係を方程式にすると、
0.19x＋0.06(500－x)＝0.03×1800。
これを解くと、x＝200g。
(6) 18％の食塩水600gの中に含まれる食塩の量は0.18×600＝108g。
水の量は492g。加える水の量をxgとして方程式を立てると、
0.12(600＋x)＝108。
これを解くと、x＝300g。
(7) 関係を方程式にすると、
0.02a＋0.06b＝0.03(a＋b)。
これを展開すると
0.02a＋0.06b＝0.03a＋0.03b
-0.01a＝-0.03b
となり、a：b＝3：1。
(8) 仕入れた個数をx個として方程式を立てると、
1500(x－24)－1200x＝1200×0.15×x。
1500(x－24)－1200x＝180x。
これを解くと、x＝300個。
(9) 仕入れ値をa円、定価の利益をx％として方程式を立てると、
a(1＋0.01x)×0.75＝1.05a。
0.75a＋0.0075ax＝1.05a
0.0075ax＝0.3a
0.0075x＝0.3
x＝40％。
(10) 今まで売れていた売り上げ個数をx個として方程式を立てると、
1200×1.08×0.85x＝1200x－393600
これを解くと、x＝4000個。
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５．次の問題を方程式で解きなさい。
| (1) 15％の食塩水600gが入った容器からxgを取り出し、その代わりに5％の食塩水 |
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gを入れ、さらに水 |
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g |
| を入れたところ11％の食塩水になった。xを求めなさい。 |
(2) あるお店ではある商品を仕入れ値の25％増しで定価として売っている。これに定価の6％の値段のおまけを
お店の負担でつけて売ろうとしたが、、おまけをつけずに定価の何％引きにして同じ値段とした。
この商品は定価の何％引きで売られたか。
(3) すく男君はいつも朝の6時40分に家を出て、分速66mの速さで15分かけて駅に着きます。
ある日、家を出発してから途中にあるコンビニに5分立ち寄ってジュースを買い、店を出てからジュースを
飲みながら分速48mの速さで2分進み、飲み終えるといつもの速さの1.5倍の速さで進んだが、いつもよりも
3分遅く駅に着いた。家からコンビニまでの距離を求めなさい。。
(4) ある職場では、ある商品を完成させるのにベテラン職人がすると6時間、新人職人がすると10時間かかる。
また2人が共同で作業すると、ベテラン職人は新人職人の補助をしなければならず、作業スピードは28％
遅くなるが、新人職人のスピードは30％早くなる。ある日、新人職人だけで何時間か働いた後、ベテラン
職人が加わって商品を完成させたところ、全部で7時間かかった。新人職人だけで働いた時間を求めなさい。
(5) 食塩水Aは4％の濃度で400g、食塩水Bは6％の濃度で600g、食塩水Cは8％の濃度で800gである。それぞれ
同じ量を取り出し、AはBに、BはCに、CはAに混ぜたところ、AとCの濃度は同じになった。取り出した量を求め
なさい。
(6) 数子さんはA地点からB地点まで行こうとしたが、いつもの速さで進むと2分遅れることがわかったので、
いつもの速さよりも2割速くして行ったところ、予定よりも4分早く着いた。A地点からB地点までかかる時間
を求めなさい。
(7) Hello Schoolの生徒は全員部活動に入ることが義務付けられている。ある学年では男女の比が8：7で、
運動部の男女比が9：7、文化部は120人いてその男女比が5：7である。この学年の生徒数を求めなさい。
(8) Hello Schoolの文化祭のポスターを3日間かけて同じ枚数ずつ作成します。1日目は1時間でa枚印刷できる
機械をb台使ったところ5時間かかった。2日目は機械をさらに3台増やして印刷したところ3時間20分かかった。
3日目は1日目の機械の台数を3台減らし、印刷のスピードを50％速くした場合、何時間で印刷できるか。
(9) 下の図はある倉庫作業の流れを表しています。
まず、Aブロックでは7時に作業が始まり、倉庫から流れてくる商品が入ったダンボール箱を12個ずつ
パレットに積んでいきます。次にBブロックでは9時から作業が始まり、Aブロックが積んだダンボール箱
を開けて商品を必要な数量を取り出し、棚に補充した後、ラインから流れてくる指定されたコンテナの中
にその商品を入れていきます。
Aブロックには常に2人が担当し、倉庫から2640個のダンボール箱が流され、パレットを1つ積み上げるのに
2人で72秒かけながら終わるまで作業を続け、Aブロックの作業終了後はBブロックの補充作業に1人、
コンテナ入れに1人加わります。
BブロックにはAブロックの2人が加わるまで何人が担当し、補充作業、コンテナ入れに同じ人数が入り、
1つの商品を完了するのに1人につき同じ24秒かけながら、3600個の商品を扱い、15時36分に終了します。
9時から勤務するBブロックの人数を求めなさい。
(10) あるお店ではギョーザ1パック360円、シューマイ1パック420円、両方買うと5％引きで売っている。
ある日、このお店で480人のお客がギョーザかシューマイ、または両方を買っていき、191904円を
売り上げた。このとき、シューマイを買ったのは280人でそれぞれ2個以上買ったお客はいなかった。
ギョーザを買ったお客の人数を求めなさい。
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解答：(1) 180g (2) 14％ (3) 5時間 (4) x＝1 (5) 320g
(6) 36分 (7) 600人 (8) 6時間40分 (9) 6人 (10) 264人 |
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| (1) 求める方程式は0.15(600－x)＋0.05× |
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＝0.11×600。 |
(2) 仕入れ値をa円、定価から割り引いた割合をx％とすると、
1.25a(1－0.01x)＝a＋1.25a×0.06。
これを解くと、x＝0.14。 |
(3) 家から駅までは66×15＝990m。家からコンビニまでの距離をxmとすると、コンビニからジュースを
飲みながら進んだ距離は48×2＝96m、残りの距離は990－x-96＝(894－x)m。いつもの速さで歩いた
時間と1.5倍の速さで進んだ時間の合計は18－5－2＝11分。
|
| (4) 仕事全体を1とすると、ベテラン職人は1時間で |
|
、新人職人は |
|
をこなすことになる。 |
| ベテラン職人と新人職人が共同で仕事をすると、1時間にベテラン職人は |
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× |
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＝ |
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| 新人職人だけが働いた時間をxとして方程式を立てると、 |
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x＋ |
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(7-x)＝1 |
| (5) 混ぜた後の食塩水Aの食塩の量は0.04(400－x)＋0.08x、濃度は |
|
、 |
| 混ぜた後の食塩水Cの食塩の量は0.08(800－x)＋0.06x、濃度は |
|
、 |
(6) 数子さんのいつもの速さを分速am、A地点からB地点までかかる時間をx分とすると、
ax＝1.2a(x-6)。
ここからx＝36分が求まる。 |
| (7) 文化部の男子は120× |
|
＝50人、女子は120× |
|
＝70人となる。 |
運動部の男子を9x、女子を7xとして比例式を立てると、
(50＋9x)：(70＋7x)＝8：7
これを解くとx＝30が求まり、この学年の人数は50＋9×30＋70＋7×30＝600人。 |
| (8) 1日に印刷するポスターの枚数は1日目では5ab、2日目では3 |
|
a(b＋3)。 |
| 1日目も2日目も印刷する枚数は同じなので、5ab＝3 |
|
a(b＋3)。 |
ここからb＝6が求まり、印刷する枚数は30a枚。3日目は1時間で機械1台につき1.5a枚印刷でき、
機械の台数は6－3＝3台なので、1時間につき4.5a枚印刷できる。 |
| かかる時間は30a÷4.5a＝ |
|
時間＝6時間40分。 |
(9) Aブロックの2640個の段ボールをパレットに積み上げていくと2640÷12＝220のパレットになる。
1つのパレットに72秒かかるので、この作業が終了するのに220×72＝15840秒かかる。
これを時間と分にすると4時間24分になり、時刻は11時24分となる。
9時から勤務する人数のうち、コンテナ入れを担当する人数をx人とする。
Bブロックは9時の開始時刻から11時24分までの2時間24分間、秒だけで表すと8640秒はx人ずつ
の作業となる。
ここまでの完了させる個数を式で表すと、8640÷24×x＝360x。
残りの4時間12分、秒で表すと15120秒は(x＋1)人で行うことになり、その個数は
15120÷24×(x＋1)＝630(x＋1)。
この合計が3600個になればよいので、解く方程式は
360x＋630(x＋1)＝3600
これを解くと、x＝3が求まり、9時から勤務する人数はその2倍の6人となる。
(10) シューマイを買ったお客が280人であることから、ギョーザのみを買ったお客は480－280＝200人。
ギョーザを買ったお客の数をx人とすると、両方を買ったお客は(x－200)人、シューマイのみを
買ったお客は(480－x)人となる。
求める方程式は、360×200＋456×(x－200)＋420×(480－x)＝191904。
これを解くと、x＝264人。
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| 解説ページ |
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| 商用目的での利用を固く禁じます。 |
