■　Hello School　数学（ハロ数）　Ver.2　中１　正負の計算　総合問題　解答と解説　■
インターネット上で中学校の数学を勉強できるよ。
１．次の計算はA～Jの公式を組み合わせたものである。どの公式とどの公式をどのような式で組み合わされているか、
　例の答えの形で答えなさい。またその計算もしなさい。
　　A．(a＋b)2＝a2＋2×a×b＋b2　[a2＋2ab＋b2]　　　B．(a－b)2＝a2－2×a×b＋b2　[a2－2ab＋b2]

　　C．(a＋b)×(a－b)＝a2－b2　　D．(a＋b)3＝a3＋3×a2×b＋3×a×b2＋b3　[a3＋3a2b＋2ab2＋b2]

　　E．(a－b)3＝a3－3×a2×b＋3×a×b2－b3　[a3－3a2b＋2ab2－b2]

　　F．(a＋b)×(a2－a×b＋b2)＝a3＋b3　　G．(a－b)×(a2＋a×b＋b2)＝a3－b3

　　H．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2×b×c＋2×a×c＋2×a×b　[a2＋b2＋c2＋2bc＋2ac＋2ab]

　　I．32＋42＝52　[ 3 ： 4 ： 5 の関係であれば成立する]　
　
　 J．52＋122＝132 　[ 5 ： 12 ： 13 の関係であれば成立する]　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　]は文字式のきまりにしたがった表し方である。

　　<例>　32＋2×3×4＋42＋(5＋6)×(5－6)　　　答え　A＋C ： 38
(1)　(-0.8)2－(-3.9)2＋(-1.5)2＋(-0.6)2－(-1)2＋(-3.6)2　　

(2)　(-0.7)2－2×0.6×0.2＋(-1.3)2＋(-0.6)2＋2×0.7×1.3＋(-0.2)2

(3)　(-0.1－0.2)×{(-0.1)2＋0.1×(-0.2)＋(-0.2)2}＋(-0.1＋0.2)×{(-0.1)2－0.1×(-0.2)＋(-0.2)2}

(4)　(0.9＋1.5)×(0.9－1.5)＋2×(-0.4)×(-0.5)＋(-0.3)2＋2×(-0.3)×(-0.5)＋(-0.4)2＋2×(-0.3)×(-0.4)＋(-0.5)2
(5)　 (
1
3
)2 ＋2× (
1
3
) × (
1
24
) ＋ (
1
24
)2
.......... － [(
1
2
＋
1
4
) × {(
1
2
)2 －
1
2
×
1
4
＋ (
1
4
)2}]
(6)　 {(
1
6
)3 ＋3× (
1
6
)2 ×
3
4
＋3×
1
6
× (
3
4
)2 ＋ (
3
4
)3}
.......... ÷ {(
1
6
)2 ＋2×
1
6
×
3
4
＋ (
3
4
)2}
(7)　 [(
1
2
－
1
3
) × {(
1
2
)2 ＋
1
2
×
1
3
＋ (
1
3
)2}] ÷ {(
1
2
＋
1
3
) × (
1
2
－
1
3
)}
(8)　 {( -
1
2
)2 ＋2× ( -
1
2
) × ( -
1
12
) ＋ ( -
1
12
)2}]
.......... ÷ {(
1
2
)2 ＋2×
1
3
×
1
12
＋ (
1
3
)2 ＋2×
1
2
×
1
12
＋ (
1
12
)2 ＋2×
1
2
×
1
3
}
(9)　 ( -
2
3
＋
1
2
) × {( -
2
3
)2 ＋
2
3
×
1
2
＋ (
1
2
)2}
..........　 － ( -
2
3
－
1
2
) × {( -
2
3
)2 －
2
3
×
1
2
＋ (
1
2
)2}
(10)　 {(
2
5
)3 －3× (
2
5
)2 ×
1
2
＋3×
2
5
× (
1
2
)2 － (
1
2
)3}
.......... ÷ {(
2
5
)2 －2×
2
5
×
1
2
＋ (
1
2
)2}
解答：(1)　I＋J ： 0　　(2)　A＋B ： 4.16　　(3)　F＋G ： -0.002　　(4)　C＋H ： 0　　(5)　A－F ： 0　　
　　　 (6)　D÷A ：
11
12
　　(7)　G÷C ：
19
30
　　(8)　A÷H ：
49
121
　　(9)　F－G ：
1
4
　　(10)　E÷B ： -
1
10
解説：
(1)　与式＝ (-0.6)2＋(-0.8)2－(-1)2＋(-1.5)2＋(-3.6)2－(-3.9)2
＝ 0
(2)　与式＝ (-0.7)2＋2×0.7×1.3＋(-1.3)2＋(-0.6)2－2×0.6×0.2＋(-0.2)2
＝ ｛(-0.7)＋(-1.3)｝2＋｛(-0.6)－(-0.2)｝2
＝ (-2)2＋(-0.4)2
＝ 4.16
(3)　与式＝ (-0.1)3＋(-0.2)3＋(-0.1)3－(-0.2)3
＝ 2×(-0.1)3
＝ -0.002
(4)　与式＝ (0.9＋1.5)×(0.9－1.5)
　＋(-0.3)2＋(-0.4)2＋(-0.5)2＋2×(-0.4)×(-0.5)＋2×(-0.3)×(-0.5)＋2×(-0.3)×(-0.4)
＝ 0.92－1.52＋{(-0.3)＋(-0.4)＋(-0.5)}2
＝ -1.44＋(-1.2)2
＝ 0
(5)　与式＝
(
1
3
＋
1
24
)2 － {(
1
2
)3 ＋ (
1
4
)3}
＝
(
3
8
)2 －
9
64
＝ 0
(6)　与式＝
(
1
6
＋
3
4
)3 ÷ (
1
6
＋
3
4
)2
＝
( -
11
12
)3 ÷ ( -
11
12
)2
＝
-
11
12
(7)　与式＝
{(
1
2
)3 － (
1
3
)3} ÷ {(
1
2
)2 － (
1
3
)2}
＝
19
216
÷
5
36
＝
19
30
(8)　与式＝
{( -
1
2
) ＋ ( -
1
12
)}2 ÷ (
1
2
＋
1
3
＋
1
12
)2
＝
( -
7
12
)2 ÷ (
11
12
)2
＝
49
121
(9)　与式＝
{( -
2
3
)3 ＋ (
1
2
)3} － {( -
2
3
)3 － (
1
2
)3}
＝
2× (
1
2
)3
＝
1
4
(10)　与式＝
(
2
5
－
1
2
)3 ÷ (
2
5
－
1
2
)2
＝
( -
3
10
)3 ÷ ( -
1
10
)2
＝
-
1
10
　
２．次の計算をしなさい。

(1)　 -
1
2×3×4
－
1
3×4×5
－
1
4×5×6
－
1
5×6×7
－
1
6×7×8
－
1
7×8×9
－
1
8×9×10
(2)　 -
1
3
－
1
15
－
1
35
－
1
63
－
1
99
－
1
143
－
1
195
－
1
255
－
1
323
－
1
399
(3)　
　　(4)　 1
1－
　1　
　2　
1－
1
3
1
1－
　1　
　4　
1－
1
5
　　(5)　 -
1
24
＋
2
9
-
1
6
＋
1
4
-
1
3
＋
1
2
-
1
8
＋
1
60
-
1
6
＋
1
12
-
1
4
＋
2
3
(1)のヒント　 -
1
2×3×4
＝ -
1
2
× (
1
2×3
－
1
3×4
)
(2)のヒント　 -
1
3
＝ -
1
2
× (
1
1
－
1
3
)
(3)～(5)のヒント　
A
B
＝
A
B
÷
C
D
C
D
解答：(1)　-
7
90
　　(2)　-
10
21
　　(3)　
7
8
　　(4)　
11
4
　　(5)　
1
3
解説：
(1)　与式＝ -
1
2
× (
1
2×3
－
1
3×4
) －
1
2
× (
1
3×4
－
1
4×5
) － … －
1
2
× (
1
8×9
－
1
9×10
)
　　　　　 ＝ -
1
2
× (
1
2×3
－
1
9×10
)
　　　　　 ＝ -
1
2
×
7
45
＝ -
7
90
(2)　与式＝ -
1
2
× (
1
1
－
1
3
) －
1
2
× (
1
3
－
1
5
) － … －
1
2
× (
1
19
－
1
21
)
　　　　　 ＝ -
1
2
× (
1
1
－
1
21
)
　　　　　 ＝ -
1
2
×
20
21
＝ -
10
21
(3)　与式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
7
8
(4)　与式＝
1
1－
　1　
　2　
2
3
1
1－
　1　
　4　
4
5
＝
1
1－
　3　
　4　
1
1－
　5　
　16　
＝
1
　1　
　4　
1
　11　
　16　
＝
　4　
　16　
　11　
＝
11
4
(5)　与式＝
-
1
24
＋
2
9
-
1
6
＋
1
4
1
6
-
1
8
＋
1
60
-
1
6
＋
1
12
5
12
＝
-
1
24
＋
2
9
-
1
6
＋
3
2
-
1
8
＋
1
60
-
1
6
＋
1
5
＝
-
1
24
＋
2
9
4
3
-
1
8
＋
1
60
1
30
＝
-
1
24
＋
1
6
-
1
8
＋
1
2
＝
1
8
3
8
＝
1
3
３．次の数はある規則にしたがって並んでいる。[　　　]に入る数を答えなさい。
　(1)　-1、-4、[　①　]、-16、-25、[　②　]、-49、…
　(2)　-10、-9、-7、-4、[　③　]、5、11、18、[　④　]、35、…
　(3)　-3、-4、-6、[　⑤　]、-13、-18、[　⑥　]、-31、…
　(4)　3、5、8、12、14、17、21、[　⑦　]、26、30、[　⑧　]、…
　(5)　 1、-1、
1
2
、[　⑨　]、
1
5
、-
1
8
、
1
13
、-
1
21
、[　⑩　]、…
解答：(1)　①　-9　②　-36　　(2)　③　0　④　26　　(3)　⑤　-9　⑥　-24　　(4)　⑦　23　⑧　32
　　(5)　⑨　-
1
3
　⑩　
1
34
解説：
(1)　-12、-22、-32、…になっている。
(2)　前の数に+1、+2、+3、+4…になっている。　　
(3)　前の数に-1、-2、-3、-4…になっている。
(4)　前の数に+2、+3、+4を繰り返している。

(5)　3番目の数の分母は1番目と2番目の数の和、4番目の数の分母は2番目と3番目の
　　数の和になっていて、正負が交互になっている。この分母の数列をフィボナッチ数列
　　といい、ひまわりの種やまつぼっくりのかさの並び方、建築など自然界や現実の世界
　　に多く見られる。
　
４．次の表の中の数字の合計を求めなさい。
(1)
-10 -11 -12 -13 -14
-9 -10 -11 -12 -13
-8 -9 -10 -11 -12
-7 -8 -9 -10 -11
-6 -7 -8 -9 -10
　　(2)
-10 -11 -12 ・ ・ ・ ・ -17 -18 -19
-9 -10 -11 ・ ・ ・ ・ -16 -17 -18
-8 -9 -10 ・ ・ ・ ・ -15 -16 -17
・ ・ ・ ・ 　 　 ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ 　 ・ ・ 　 ・ ・ ・
・ ・ ・ 　 ・ ・ 　 ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ 　 　 ・ ・ ・ ・
-3 -4 -5 ・ ・ ・ ・ -10 -11 -12
-2 -3 -4 ・ ・ ・ ・ -9 -10 -11
-1 -2 -3 ・ ・ ・ ・ -8 -9 -10

解答：(1)　-250　　(2)　-10000　
解説： (1) (-10）×5＋(-11)×4＋(-6)×1＋(-12)×3＋(-7)×2＋(-13)×2＋(-8)×3
　＋(-14)×1＋(-9)×4＝(-50)×5＝-250
-10 -11 -12 -13 -14
-9 -10 -11 -12 -13
-8 -9 -10 -11 -12
-7 -8 -9 -10 -11
-6 -7 -8 -9 -10
(2) (1)と同様に考える。
　
５．次の式を満たす自然数a～gを求めなさい。

(1)　
9
11

＝
1
1+
1
a+
1
b

　　(2)　
11
17

＝
1
1+
1
c+
1
d
+
1
e

　　(3)　
5
2

＝
1
1-
1
f -
1
g
解答：(1)　a…　4　b…2　　(2)　c…1　d…2　e…3　　(3)　f…2　g…3　　
解説： (1)
(2)
(3)
　
６．Hello Schoolで金曜日に基本問題、標準問題、応用問題を含めた126問の数学の問題を次の金曜日までの宿題として課した。
　問題の種類の比は基本、標準、応用の順で2：4：3となっている。この宿題に対して、数子さんは以下のようにして消化していった。
　これについて、次の各問に答えなさい。

数子さん		 ①　宿題が出された金曜日から日曜日までに、まずは応用問題から2：3：2の比率で解いて終わらせました。

②　日曜日は学校も部活も休みなので、残りの応用問題と標準問題を解きました。標準問題は2：2：2：1の比率で
　　4日間で終わらせました。

③　標準問題を終わらせた日は問題数が少なかったので、基本問題も解きました。基本問題はその日と次の日
　　で3：4の比率で解いて終わらせました。
(1)　応用問題は何問あるか、求めなさい。
(2)　水曜日は基本問題、標準問題、応用問題をそれぞれ何問ずつ解いたか求めなさい。
(3)　宿題の60％を終わらせたのは何曜日か。
宿題は計画的に全部終わらせることが目的なのよ。
どうせ全部やらなくてはいけないのなら、先に応用問題を終わらせておけば、
後は易しい問題が残って、家庭学習の少ない時間でも、部活などで疲れていた
としても、またギリギリになってもあわてる必要もなくなってくるわよ。
解答：(1)　42問　　(2)　基本問題…12問　標準問題…8問　応用問題…0問　　(3)　火曜日
解説： 数子さんの宿題の消化を日程で表すと以下の通り。
　 問題数 金 土 日 月 火 水 木
応用問題数 42 12 18 12 　 　 　 　
比 3 2：3：2 　 　 　 　
標準問題数 56 　 　 16 16 16 8 　
比 4 　 　 2：2：2：1 　
基本問題数 28 　 　 　 　 　 12 16
比 2 　 　 　 　 　 3：4

(3)　126×0.6＝75.6→76問をおわらせれば60％を超える。月曜日までに終わらせた問題数は74問。
　　76問目は火曜日の中にある。
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