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School 算数 約数・倍数 ■ |
| インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。 |
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| ●約数・倍数の知識 |
| 約数 |
約数…ある整数を割り切れることができる整数。
18の約数…1、2、3、6、9、18
素数…約数が1とその数しかない整数
2、3、5、7、11、13、17、… | |
| 公約数と最大公約数 |
公約数…2つ以上の整数に共通な約数。
12の約数…1、2、3、4、6、12
18の約数…1、2、3、6、9、18
12と18の公約数は1、2、3、6
最大公約数…公約数の中で最大な整数。
12と18の最大公約数は6。（右の求め方）
※公約数は最大公約数の約数になる。 |
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最大公約数の求め方
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| 倍数 |
倍数…ある整数を整数倍した整数。
3の倍数…3、6、9、12、… | |
| 公倍数と最小公倍数 |
公倍数…2つ以上の整数に共通な倍数。
3の倍数…3、6、9、12、…
4の倍数…4、8、12、16、…
3と4の公倍数は12、24、36、…
最小公倍数…公倍数の中で最小の整数。
12と18の最小公倍数は36。（右の求め方）
12と15と18の最小公倍数は120。（右の求め方）
※公倍数は最小公倍数の倍数になる。 |
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最小公倍数の求め方
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| 例題１ |
次の□にあてはまる数を答えなさい。
(1)72の約数は全部で□個あります。
(2)100以上の素数で3番目に小さい数は□です。
(3)234、390、1040の最大公約数は□です。
(4)12、40、64の最小公倍数は□です。
(5)2けたの整数で、4の倍数で144の約数でもあるのは□個あります。 |
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| (1) |
72の約数は1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72の12個。 |
| (2) |
101、103、107となるので、107。 |
| (3) |
| 右の解法により13×2＝26。 |
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| (4) |
| 右の解法により2×2×2×3×5×8＝960。 |
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| (5) |
144の約数は1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144で
そのうち、2けたで4の倍数は12、16、24、36、48、72の6個。 | |
| 解答 |
(1)12個 (2)107 (3)26 (4)960 (5)6個 | |
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| 例題2 |
41を割るとあまりが5になる数をすべて答えなさい。 |
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41を割るとあまりが5になる数は41から5を引いた36であれば割り切れる。
36を割り切れる数は1、2、3、4、6、9、12、18、36。このうちあまりが5に
なるのは割る数が5よりも大きくなければならないので、6、9、12、18、36。 | |
| 解答 |
6、9、12、18、36 | |
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| 例題3 |
1から100までの整数で3で割り切れるが、4で割り切れない整数は全部で何個あり
ますか。 |
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1から100までの整数で3で割り切れる数は100÷3＝33あまり1で33個。
3でも4でも割り切れる数は12の倍数なので、100÷12＝8あまり4の8個。
3で割り切れるが、4で割り切れない整数は全部で33-8＝25個。 | |
| 解答 |
25個 | |
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| 例題4 |
次の各問いに答えなさい。
(1)6、7、8のいずれで割っても3あまる3けたの整数で一番小さい整数はいくつで
すか。
(2)9で割れば6あまり、6で割れば3あまる整数のうち、100に一番近い整数はいく
つですか。
(3)5で割れば2あまり、9でわれば1あまる整数で一番小さい整数はいくつですか。 |
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| (1) |
6、7、8のいずれで割っても割り切れる整数は6、7、8の公倍数。
最小公倍数は168で、この数に3をたした171が答えとなる。 |
| (2) |
9で割れば6あまり、6で割れば3あまる整数は3をたせば割りきれる整数
なので、6と9の公倍数に3を引いた整数である。
6と9の最小公倍数は18。18で100に近い整数は108。求める整数は
108-3＝105。 |
| (3) |
あまりの数に共通点がないので、書き出して答える。
5で割れば2あまる整数…2、7、12、17、22、27、32、37、42、47、…
9でわれば1あまる整数…1、10、19、28、37、46、55、64、…
37が答えとなる。 | |
| 解答 |
(1)171 (2)105 (3)37 | |
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| 例題5 |
53、87、104の3つの整数を□で割ると、あまりが同じになります。□はいくつです
か。 |
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53、87、104の3つの整数の差は
それぞれ小さい順に17、34、51。
これらはすべて□で割り切れる
ので、17、34、51の公約数は
1と17。1ではあまりがなくなるの
で、答えは17。 |
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| 解答 |
17 | |
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| 例題6 |
次の各問いに答えなさい。
(1)60とある整数Aの最大公約数は15で、最小公倍数は300です。整数Aはいくつ
ですか。
(2)2けたの整数A、Bがあり、2つの最大公約数は12、最小公倍数が480です。
整数A、Bはそれぞれいくつですか。ただしAはBより小さい整数とします。 |
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| (1) |
右の計算で、15×4×□＝300となり、□＝5がわかる。
よってAは15×5＝75。 |
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| (2) |
右の計算で、12×○×□＝480で、○×□＝40となる。
○と□の組み合わせは（1と40）、（2と20）、（4と10）、
(5と8)の4つがあり、このうち（1と40）、（2と20）、（4と10）
の場合はBが3けたになり、問題の条件にあうのは（5と8）。
Aは12×5＝60、Bは12×8＝96。 |
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| 解答 |
(1) 75 (2)A…60 B…48 | |
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例題7 |
| 2つの分数 |
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、 |
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にある分数をかけたところ、2つとも整数になりました。 |
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かける分数で分母に18と27の最大公約
数、分子に25と40の最小公倍数であれ
ば2つの分数は整数になる。
18と27の最大公約数は9、25と40の最小
公倍数は200なので、もとめる分数は
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| 解答 |
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| 例題8 |
右の図のような、たて18cm、よこ42cm、
高さ24cmの直方体の箱の中に立方体を
ぎっしりあますことなくつめていきます。
立方体をなるべく少なくするとき、立方体
は全部で何個になりますか。 |
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18、24、42の最大公約数は6。立方体の一辺は6cmとなる。
たてに18÷6＝3個、よこに42÷6＝7個、高さに24÷6＝4個入るので、
全部で3×7×4＝84個。 | |
| 解答 |
84個 | |
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| 例題9 |
右の図のようなA、Bの2つの信号機があり
ます。信号機Aは3分間青で2分間赤になり、
信号機Bは2分間青で1分間赤になります。
朝の5時に2つの信号機をつけました。朝の
6時40分までに2つの信号機が同時に青に
なっていたのは全部で何分間ですか。 |
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信号機Aは5分おき、
信号機Bは3分おきに
繰り返すので、2つの
信号機は15分おきに
同じことを繰り返す。 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
| A |
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| B |
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右上の表で15分までに同時に青になるのは6分間。
5時から6時40分までは100分間あるので、100÷15＝6あまり10分。
同時に青になる6分間が6回あり、残りの10分間に同時に青になるのは4分。
36+4＝40分間。 | |
| 解答 |
40分間 | |
| 練習問題 |
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